Enunciado

21. A tensão que age nos dois planos em um ponto é indicada na figura. Determine a tensão normal σ b e as tensões principais no ponto.

Passo 1

Bem! Vamos analisar a figura do enunciado. A questão pede basicamente, a tensão normal no plano b - b e as principais. Agora se você analisar bem esse plano, vai reparar ali uma tensão σ b . Pois bem, essa é a tensão normal em b - b . E se for parar pra pensar um pouco, conclui-se que o σ b , nada mais é do que a transformação de tensão σ x ' nesse plano. Mas transformação de tensão de que?

Aí que está! Nossa σ b é resultado da transformação de tensão lá daquela outra presente na figura do enunciado no plano a - a , de 4   M P a . Ora bolas, o que temos que fazer, então é achar as tensões no plano a - a e usar aquelas famigeradas equações de transformações para tensão, que já conhecemos. Vamos lá!

Passo 2

A única tensão presente no plano a - a é aquela de 4   M P a . Mas se você reparar bem, ela pode ser decomposta em outras duas tensões, sendo que uma vai ser perpendicular ao plano e a outra vai ser paralela ao plano, nele contido. Ora, vamos ter então, uma tensão normal σ x e uma tensão cisalhante τ x y . Bora calculá-las:

σ x é dada por:

σ x = ( 4   M P a ) sen ⁡ 60 °

σ x = 3,464   M P a

E τ x y   é dada por:

τ x y = 4   M P a cos ⁡ 60 °

τ x y = 2   M P a

Passo 3

Agora, analisemos o plano b - b . Desse plano, tiramos que:

σ x ' = σ b

τ x ' y ' = 2   M P a

Eureca! Se temos o valor de τ x y ,   τ x ' y ' ,   σ x e do ângulo θ entre os plano a - a e b - b , que é 45 ° , vamos usar então a equação de transformação para τ x ' y ' , para ver se arrumamos alguma coisa:

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ ⁡ +   τ x y cos ⁡ 2 θ

Substitui-se os valores numéricos pertinentes a cada variável:

2   M P a = - 3,464   M P a - σ y 2 sen ⁡ 90 ° ⁡ +   ( 2   M P a ) cos ⁡ 90 °

2   M P a = - 3,464   M P a - σ y 2

3,464   M P a - σ y = - 4   M P a

σ y = 7,464   M P a

Ia lá! Não é que obtivemos o valor de σ y ?! Acho que com isso, já podemos achar a tensão normal ( σ x ' = σ b )   no plano b - b , né? Vamos ver:

σ x ' = σ b = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y sen ⁡ 2 θ

Substitui-se o valor de cada variável na fórmula e chega-se então, à:

σ b = 3,464   M P a + 7,464   M P a 2 + 3,464   M P a - 7,464   M P a 2 cos ⁡ 90 ° + ( 2   M P a ) sen ⁡ 90 °

σ b = 3,464   M P a + 7,464   M P a 2 + ( 2   M P a ) sen ⁡ 90 °

σ b ≅ 7,46   M P a

Passo 4

Agora, só falta descobrir as tensões principais, que são dadas através da seguinte fórmula:

σ p r i n c i p a i s = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Substituímos os valores numéricos adequados:

σ p r i n c i p a i s = 3,464   M P a + 7,464   M P a 2 ± 3,464   M P a - 7,464   M P a 2 2 + ( 2   M P a ) 2

σ p r i n c i p a i s = 5,464 ± 2,828   M P a

Mas não vamos esquecer que essa fórmula nos dá uma tensão máxima σ 1 e uma tensão mínima σ 2 . Para encontrar as duas, tá na cara que ná máxima basta somar e na mínima basta subtrair. Logo:

σ 1 = 5,464 + 2,828   M P a

σ 1 ≅ 8,29   M P a

σ 2 = 5,464 - 2,828   M P a

σ 2 ≅ 2,64   M P a

Resposta

σ b ≅ 7,46   M P a

T e n s ã o   M á x i m a → σ 1 ≅ 8,29   M P a

T e n s ã o   M í n i m a → σ 2 ≅ 2,64   M P a

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