Enunciado

32. Um tubo de papel é formado enrolando-se uma tira de papel em espiral e colando as bordas como mostra a figura. Determine a tensão de cisalhamento que age ao longo da linha de junção localizada a 30 ° em relação á vertical, quando o tubo é submetido a uma força axial de 10   N . O papel tem 1   m m de espessura e o tubo tem diâmetro externo de 30   m m .

Passo 1

Fala galerinha bonita, tudo jóia?

Saca só, nesse exercício aqui o enunciado nos diz que um tubo de papel é formado enrolando-se uma tira de papel em espiral e colando as bordas como na figura mostrada, então sabendo disso o enunciado quer que a gente determine a tensão de cisalhamento que age ao longo da linha de junção quando o tubo é submetido a uma força axial de 10   N !

Belezoca, se a gente analisar bem essa figura, vamos reparar ali uma força de 10   N , que faz um ângulo de 90 ° com a seção transversal do tubo. Logo, o único tipo de tensão presente no nosso sisteminha ali, é a tensão normal, que conveniente vamos chamar de σ x .

A questão nos diz também, o valor do ângulo θ das linhas de junção com a vertical, igual a 30 ° , que é o ângulo que utilizaremos em nossos cálculos.

Maravilha, então bora lá ver como que fica essa brincadeira!

Passo 2

A única tensão presente no nosso sistema, é aquela originada da força axial de 10   N , que é uma tensão normal. E qual é mesmo a fórmula da tensão normal?

σ x = P A

Isso mesmo! A fórmula da tensão normal é dada pela divisão da força perpendicular à fibra pela área da seção transversal. Mas temos que tomar atenção no cálculo da área, pois a própria questão diz o tubo tem uma certa expessura. Logo terá um diâmetro interno e um externo. Nossa fórmula então, vai ficar assim:

σ x = P π 4 ( d e x t e r n o 2 - d i n t e r n o 2 )

σ x = 10   N π 4 ( ( 0,03   m ) 2 - ( 0,028   m ) 2 )

σ x = 109,76   k P a

E chegamos ao seguinte estado plano de tensão:

Onde:

σ x = 109,76   k P a

σ y = 0   k P a

τ x y = 0   k P a

Passo 3

Agora, só resta a gente aplicar a fórmulas da transformação de tensão para o caso cisalhante, que tem a seguinte cara:

τ x ' y ' = - σ x - σ y 2 sen ⁡ 2 θ ⁡ +   τ x y cos ⁡ 2 θ

Substitui-se os valores numéricos pertinentes a cada variável, dado o valor do ângulo θ = 30 ° .

τ x ' y ' = - 109,76   k P a 2 sen ⁡ 60 °

E encontramos nossos resultado igual à:

τ x ' y ' = - 47,5   k P a

Resposta

τ x ' y ' = - 47,5   k P a

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