Enunciado

2.24. A figura 2.54 mostra uma pequena massa m restringida por quatro molas linearmente elásticas, cada uma com um comprimento distendido l e um ângulo de orientação 45 ° em relação ao eixo x. Determine a equação do movimento para pequenos deslocamentos da massa na direção x.

Passo 1

Antes de qualquer coisa vamos fazer o diagrama de forças para esse problema.

Mas olha só, a imagem tem uma simetria que vai ajudar bastante a gente, porque podemos assumir

F 1 = F 3

E

F 2 = F 4

Passo 2

Agora vamos escrever as forças ao longo do eixo x :

F x = F 1 ⋅ cos ⁡ 45 ° - F 2 ⋅ 45 ° - F 3 ⋅ 45 ° + F 4 ⋅ cos ⁡ 45 °

Ou então

F x = 2 F 1 cos ⁡ 45 ° - 2 F 2 ⋅ cos ⁡ 45 °

A força que estamos falando nesse problema é uma força elástica, podemos calcular ela assim:

F E = k ⋅ x

Então ficamos com

F x = 2 k 1 ⋅ x cos ⁡ 45 ° - 2 k 2 ⋅ x cos ⁡ 45 °

F x = 2 x ⋅ cos ⁡ 45 ° k 1 - k 2

E pela simetria da imagem, a gente pode assumir que a força resultante em y é 0.

F y = 0

Passo 3

Então sabemos que

m x ¨ = F R

E

F R = F x = 2 x ⋅ cos ⁡ 45 ° k 1 - k 2

Então a equação de movimento é:

m x ¨ - 2 x ⋅ cos ⁡ 45 ° k 1 - k 2 = 0

Resposta

m x ¨ - 2 x ⋅ cos ⁡ 45 ° k 1 - k 2 = 0

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