Enunciado

2.34. A calota de um vaso de pressão é içada por um conjunto de cabos de aço de comprimento 2 m, como mostra a figura 2.64. Constatou-se que o período de vibração axial (no sentido vertical) varia entre 5 e 4,0825 s quando uma massa adicional de 5000 kg é acrescentada à calota do vaso de pressão. Determine a área da seção transversal equivalente dos cabos e da massa da calota do vaso de pressão.

Passo 1

A gente tem bastante coisa para encontrar nesse problema.

O período de vibração máximo é 5, então podemos fazer

5 = 1 2 π k 1 m

Reorganizando

k 1 m = 4 π 2 ⋅ 25 = 986,9651                               ( 1 )

E o período mínimo é 4,0825, então vamos fazer

4,0825 = 1 2 π k 1 m + 5000

Isso fica

k 1 m + 5000 = 4 π 2 ⋅ 16,6668 = 657,98222                                       ( 2 )

Passo 2

Podemos calcular k 1 assim

k 1 = A E l 1

Se substituirmos na equação (1) temos

A E l 1   m = 986,9651

Substituindo os valores

A ⋅ 207 ⋅ 10 9 2   m = 986,9651

Então

A = 9,5359 ⋅ 10 - 9 ⋅ m

E agora vamos substituir na equação (2)

A E l 1 m + 5000 = 657,98222

Substituindo os valores

A ⋅ 207 ⋅ 10 9 2 m + 5000 = 657,98222

Agora vamos substituir o valor de A nessa equação

9,5359 ⋅ 10 - 9 ⋅ m ⋅ 207 ⋅ 10 9 2 m + 5000 = 657,98222

Assim podemos finalmente encontrar a massa

1973,9313   m 2 m + 10000 = 657,982222

Então

1973,9313   m = 1315,964444 m + 6579822,22

Então

m = 6579822,22 1973,9313 - 1315,964444 = 10000,23354   k g

Passo 3

Agora vamos substituir o valor da massa nessa equação

A = 9,5359 ⋅ 10 - 9 ⋅ m

A = 9,5359 ⋅ 10 - 9 ⋅ 10000,23354  

Então vamos chegar em um valor para A

A = 9,536 ⋅ 10 - 5   m 2

Resposta

A = 9,536 ⋅ 10 - 5   m 2  

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