Enunciado

2.26. A massa m está ligada a uma corda que está sob uma tensão T, como mostra a figura 2.56. Supondo que T permaneça inalterada quando a massa for deslocada na direção normal à corda:

  1. Escreva a equação diferencial de movimento para pequenas vibrações transversais;
  2. Determine a frequência natural de vibração.

Passo 1

O primeiro passo é quase sempre desenhar o diagrama de forças, então vamos fazer isso:

A gente pode dizer que a massa não se move no eixo x , então

F R x = 0

Toda a força resultante está em y .

Passo 2

Então vamos usar as forças em y . Nós não temos nem um ângulo para decompor as forças, mas temos uma coisa que podemos usar, um triângulo!

Este é o triângulo do lado esquerdo da imagem. A força T 1 é a componente em y que estamos buscando.

Podemos dizer que

T 1 = T sin ⁡ θ

Mas

sin ⁡ θ = y a

Então

T 1 = T ⋅ y a

E analogamente podemos fazer para o outro lado

T 2 = T ⋅ y b

Então podemos fazer

F y = T 1 + T 2

F y = T ⋅ y a + T ⋅ y b

Isso fica

F y = T ⋅ y 1 a + 1 b

Passo 3

Então sabemos que

m y ¨ = F R

E

F R = F y = T ⋅ y 1 a + 1 b

Então a equação de movimento é:

m y ¨ - T ⋅ y 1 a + 1 b = 0

Achamos a resposta do item (a).

Passo 4

Agora vamos para o item (b). Para descobrir a frequência natural de vibração podemos usar a equação:

ω n = k m

A gente sabe que

F = k ⋅ y

E a força é

F = T ⋅ y 1 a + 1 b

Então podemos concluir que

k = T 1 a + 1 b

Então

ω n = T 1 a + 1 b m

Isso aqui também pode ser escrito assim

ω n = T m a b a + b

Resposta

a :   m y ¨ - T ⋅ y 1 a + 1 b = 0 b : ω n = T m a b a + b

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