Enunciado

2.29. O diagrama esquemático de um regulador centrífugo é mostrado na figura 2.59. O comprimento de cada haste é l, a massa de cada esfera é m, e o comprimento livre da mola é h. Se a velocidade do eixo for ω , determine a posição de equilíbrio e a frequência para pequenas oscilações em relação a essa posição.

Passo 1

Beleza, hora de mais uma questão. A primeira coisa que podemos reparar é que quando ω = 0 a altura vertical é h + 2 l . O sistema vai ficar mais ou menos assim:

Mas quando ω ≠ 0 a altura vertical é igual a 2 l cos ⁡ θ + h

E x é l sin ⁡ θ .

Passo 2

Vamos fazer o diagrama de forças para a massa.

Agora a gente pode escrever as equações de equilíbrio para o sistema. Na vertical fica o seguinte:

P + T 2 cos ⁡ θ - T 1 cos ⁡ θ = 0

Ou então

P + T 2 - T 1 cos ⁡ θ = 0

Agora vamos fazer para o eixo horizontal:

T 1 sin ⁡ θ + T 2 sin ⁡ θ = F C

Em que F C é a força centrípeta.

Vamos isolar T 2 dessa última equação:

T 2 sin ⁡ θ = F C - T 1 sin ⁡ θ

T 2 = F C sin ⁡ θ - T 1

Agora substituímos isso na equação de equilíbrio vertical

P + F C sin ⁡ θ - T 1 - T 1 cos ⁡ θ = 0

Vamos isolar T 1

P + F C tan ⁡ θ - T 1 cos ⁡ θ - T 1 cos ⁡ θ = 0

P + F C tan ⁡ θ - 2 T 1 cos ⁡ θ = 0

Finalmente ficamos com

T 1 = P + F C tan ⁡ θ 2 cos ⁡ θ

Podemos assumir

P = m g F C = m ω 2 l sin ⁡ θ

E aí ficamos com

T 1 = m g + m ω 2 l sin ⁡ θ tan ⁡ θ 2 cos ⁡ θ

T 1 = m g + m ω 2 l cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ

Agora podemos descobrir também o valor de T 2

T 2 = F C sin ⁡ θ - T 1

T 2 = m ω 2 l sin ⁡ θ sin ⁡ θ - m g + m ω 2 l cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ

Isso fica

T 2 = m ω 2 l - m g 2 cos ⁡ θ - m ω 2 l 2

T 2 = m ω 2 l 2 - m g 2 cos ⁡ θ

Passo 3

Vamos parar de fingir que aquela mola não existe, vamos considera-la nas equações.

A força da mola é:

F M = k x

Para o caso do exercício:

F M = k l 1 - cos ⁡ θ

Mas olha só, a gente pode assumir que

F M = T 2 cos ⁡ θ

Basta usar a terceira lei de Newton.

Sabendo disso vamos fazer:

k l 1 - cos ⁡ θ = T 2 cos ⁡ θ

Substituindo o valor de T 2

k l 1 - cos ⁡ θ = m ω 2 l 2 - m g 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ

Agora vamos isolar cos ⁡ θ

k l - k l cos ⁡ θ = m ω 2 l   c o s   θ 2 - m g 2

k l + m g 2 = m ω 2 l   c o s   θ 2 + k l cos ⁡ θ

Logo

m ω 2 l   2 + k l cos ⁡ θ = k l + m g 2

Então

cos ⁡ θ = k l + m g 2 m ω 2 l   2 + k l

Temos uma equação para θ . Essa equação pode definir a posição de equilíbrio da massa.

Passo 4

Já fizemos a parte mais difícil. Falta calcular a frequência para pequenas oscilações. Usualmente a gente calcula a frequência assim:

ω = k m

Mas nesse caso teremos duas hastes ligadas a mola, então podemos fazer

ω = 2 k m

Resposta

cos ⁡ θ = k l + m g 2 m ω 2 l   2 + k l

ω = 2 k m

Ver Outros Exercícios desse livro