Enunciado

2.29. No regulador de Hartnell mostrado na Figura 2.60, a rigidez da mola é 10 4 N m   , e o peso de cada esfera é 25 N. O comprimento do braço da esfera é 20 cm, e o da manga do braço é 12 cm. A distância entre o eixo de rotação e o ponto da articulação da alavanca angular é 16 cm. A mola é comprimida 1 cm quando o braço da esfera permanece na posição vertical. Determine:

a) a velocidade do regulador na qual o braço da esfera permanece na posição vertical;

b) a frequência natural de vibrações para pequenos deslocamentos em relação à posição vertical dos braços das esferas.

Passo 1

A gente pode começar esse exercício definindo que

P = f o r ç a   t o t a l   d a   m o l a F C = F o r ç a   c e n t r i f u g a   a g i n d o   e m   c a d a   b o l a

A gente pode usar essas forças para fazer a equação de equilíbrio de momento em relação ao ponto O.

F C ⋅ 20 = P 2 ⋅ 12

Colocando em metros

0,2   F C = 0,06   P

Passo 2

Beleza, agora vamos colocar valores para F C e P .

P = k ⋅ x

O exercício nos da k = 10 4 , e x é a distância da mola em relação ao seu ponto de equilíbrio, ou seja, o quanto a mola foi comprimida, nesse caso foi 1   c m , ou 0,01   m .

P = 10 4 ⋅ 0,01 = 100   N

E a força centrifuga fica

F C = m ⋅ r ⋅ ω 2

Substituindo os valores

F C = 25 9,81 ⋅ 0,16 ⋅ ω 2

Então

F C = 0,4077   ω 2

Agora que temos os valores das forças, vamos voltar a equação de equilíbrio:

0,2   F C = 0,06   P

0,2   0,4077   ω 2 = 0,06   100

Agora temos tudo para achar ω

ω = 6 0,08154 = 8,578 r a d s

A gente pode converter esse valor para r p m , basta multiplicar por 60 2 π

N = 8,578 ⋅ 60 2 π = 81,9140   r p m

E assim respondemos o item (a).

Passo 3

Metade do problema já foi! Agora falta o item (b).

Vamos ter um sistema mais ou menos assim:

A gente pode usar a equação de movimento sobre o ponto O

m b 2 θ ¨ + k   a sin ⁡ θ a cos ⁡ θ = 0

Para pequenos valores de θ podemos fazer as aproximações

sin ⁡ θ ≈ θ cos ⁡ θ ≈ 1

E aí ficamos com

m b 2 θ ¨ + k a 2   θ = 0

Aqui a frequência pode ser calculada assim:

ω n = k a 2 m b 2

Substituindo os valores

ω n = 10 4 0,12 2 25 9,81 0,2 2 = 37,5851 r a d s

E assim a gente termina outro problema.

Resposta

a : N = 81,9140   r p m b : ω n = 37,5851 r a d s

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