Enunciado

2.33. O caixote de massa 250 kg suspenso por um helicóptero (mostrado na Figura 2.63(a)) pode ser modelado como mostra a figura 2.63(b). As pás do rotor do helicóptero giram a 300 rpm. Determine o diâmetro dos cabos de aço de modo que frequência natural de vibração do caixote seja mínima duas vezes a frequência das pás motor.

Passo 1

Vamos começar convertendo a velocidade de rotação de r p m para r a d s . Para isso basta multiplicar por 2 π 60 .

ω n = 300 ⋅ 2 π 60 = 31,416 r a d s

Como o enunciado pede que seja no mínimo duas vezes a frequência das pás:

ω n = 1 ⋅ 31,416 = 62,832 r a d s

Agora a gente tem um valor para a frequência natural. A gente pode usar esse valor para achar a constante de mola equivalente do sistema, já que sabemos que

ω n = k e q m

Então

k e q = m ω n 2

Substituindo os valores

k e q = 250 ⋅ 62,832 2 = 98,6965 ⋅ 10 4

Passo 2

Já temos um valor para k e q , agora vamos calcular a distância dos cabos, para isso vamos usar um pouco de geometria. A representação do problema é mais ou menos assim:

A gente pode ver que O ' B = O ' C = 0,5   m , então sabemos que

O ' D = O ' B 2 + O ' C 2 = 0,5 2 + 0,5 2 = 0,7071   m

Com isso podemos calcular O D , basta usar Pitágoras de novo:

O D = O ' D 2 + O ' O 2 = 0,7071 2 + 2 2 = 2,1213   m

Essas medidas vão ser importantes para calcularmos a rigidez dos cabos. A gente calcula a rigidez da seguinte maneira:

k = A E l

Em que A é a área transversal do cabo, E é o módulo de elasticidade ( 207 ⋅ 10 9 ) e l é o comprimento do cabo.

k P O = A E l P O = A 207 ⋅ 10 9 1 = 270 ⋅ 10 9 ⋅ A

E o cabo O D

k O D = A E l O D = A 207 ⋅ 10 9 2,1313 = 97,5817 ⋅ 10 9 ⋅ A

Repare na simetria da imagem, os quatro cabos nos vértices do quadrado são iguais.

Passo 3

Para calcularmos a rigidez total dos quatro cabos inclinados podemos usar

k i = 4 k O D cos 2 ⁡ θ

Para calcular θ basta fazer

cos ⁡ θ = 2 2,1213

Então

θ = cos - 1 ⁡ 2 2,1213 = 19,47 °

Agora vamos substituir os valores de k i

k i = 4 97,5817 ⋅ 10 9 ⋅ A cos 2 ⁡ 19,47 ° = 346,9581 ⋅ 10 9 ⋅ A

Passo 4

A gente já tá quase acabando. Vamos usar tudo que calculamos para montar a equação da resistência equivalente do sistema.

1 k e q = 1 k P O + 1 k i

Isso é a mesma coisa que

k e q = k P O ⋅ k i k P O + k i

Substituindo os valores

98,6965 ⋅ 10 4 = 270 ⋅ 10 9 ⋅ A ⋅ 346,9581 ⋅ 10 9 ⋅ A 270 ⋅ 10 9 ⋅ A + 346,9581 ⋅ 10 9 ⋅ A

Tudo que precisamos fazer agora é isolar A

A = 98,6965 ⋅ 10 4 129,6494 ⋅ 10 9 = 7,6126 ⋅ 10 - 6   m 2

Resposta

A = 7,6126 ⋅ 10 - 6   m 2

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