Enunciado

24. O cilindro de massa m recebe um deslocamento vertical y 0 a partir de sua posição de equilíbrio e é solto. Escreva a equação diferencial para a vibração vertical do cilindro e determine o período τ do seu movimento. Despreze o atrito e a massa da polia.

Passo 1

Bom, primeiro a gente vai montar o diagrama de corpo livre no bloco e na polia

Passo 2

Quando o deslocamento y foi zero, teremos:

F 0 = m g

Já para um deslocamento de y sendo " y " , a mola estará alongada por 2 y . Então:

F 2 = m g 2 + k ( 2 y )

∴ F = m g + 4 k y

Passo 3

Agora faremos o somatório de forças no eixo y :

∑ F y = m y ¨

Onde y ¨ é a aceleração em y .

m g - ( m g + 4 k y ) = m y ¨

Rearranjando a expressão:

y ¨ + 4 k m y = 0

Sabemos que a equação genérica para um movimento harmônico:

y ¨ + k m y = 0

Portanto:

k m = 4 k m

E sabemos também que:

ω n = k m

Substituindo os valores para encontrar ω n :

ω n = 4 k m   ( r a d / s )

Passo 4

Agora, vamos calcular o período pela fórmula:

T = 2 π ω n

T = 2 π 4 k m  

T = 2 π 1 m 4 k

T = 2 π 2 m k

∴ T = π m k     ( s )

Resposta

O período de oscilação será:

T = π m k     ( s )

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