Enunciado

24. A treliça é feita de barras de aço A - 36 e cada uma delas tem seção transversal circular com diâmetro de 40   m m . Determine a força máxima P que pode ser aplicada sem provocar flambagem em nenhuma dos elementos estruturais. As extremidades dos elementos estruturais estão acopladas por pinos.

Passo 1

Primeiro, vamos montar o diagrama de corpo livre da estrutura:

Aqui, devemos fazer o somatório de forças e momentos para encontrar as reações em função de P :

↶ + ∑ M B = 0 → 2,4 P - 0,9 R D = 0

R D = 2,4 P 0,9 → R D = 2,667   P   ( T r a ç ã o )

→ + ∑ F x = 0 → R D - R B = 0

R D = R B = 2,667   P  

Agora, vamos analisar o ponto A :

↑ + ∑ F y = 0 → F A C y - P = 0

Mas não sabemos F A C y , então como fazemos?

Primeiro, a gente pode ver que a diagonal A G vale 1,5   m (triângulo 3   4   5 ).

Depois, é só a gente fazer a relação entre as medidas do triângulo e a força F A C y e suas componentes:

0,9 F A C y = 1,5 F A C → F A C y = 0,9 F A C 1,5

P - 0,9 ⋅ F A C 1,5 = 0 → F A C = 1,5 0,9 P

∴ F A C = 1,667   P   ( T r a ç ã o )

→ + ∑ F x = 0 → F A C x - F A B = 0

É possível achar F A C x de forma semelhante ao jeito de achar F A C y , coma diferença de que em vez de 0,9   m , usamos 1,2   m :

F A C x = 1,2 F A C 1,5

F A C x = F A B → 1,2 F A C 1,5 = F A B

Como já achamos F A B :

F A B = 1,2 ⋅ 1,667   P   1,5

∴ F A B = 1,333   P   ( T r a ç ã o )

E por fim, vamos analisar o ponto B :

→ + ∑ F x = 0 → F A B - R B + F B C x = 0

F B C x = - F A B + R B

Assim como nas análise anterior:

1,2 F B C x = 1,5 F B C → F B C x = 1,2 F B C 1,5

1,2 F B C 1,5 = - 1,333   P + 2,667   P

F B C = 1,5 1,2 ( - 1,333   P + 2,667   P )

∴ F B C = 1,667   P   ( C o m p r e s s ã o )

Passo 2

Como já achamos todas as forças atuando na estrutura, vamos dividir o cálculo de froças crtíticas, calculando primeiro para a haste A B .

Fórmula de cálculo da força crítica na flambagem:

P c r = π 2 E I ( k L ) 2

Como as extremidades estão presas por pinos, temos k = 1 .

O momento de inércia, como é uma seção circular, é dado pela fórmula:

I = π 4 r 4

E temos, também, por ser dado no enunciado que é um aço A - 36 :

E = 200 × 10 9   P a

P c r = π 2 ( 200 × 10 9   P a ) ( π 4 0,02 4   m 4 ) ( 1 × 2,4   m ) 2

∴ P c r = 43   k N

P c r = F A B = 1,333 P

43   k N = 1,333 P

∴ P = 32,3   k N

Passo 3

Vamos calcular a tensão devido à força crítica σ c r para verificar se ele ultrapassa a tensão de escoamento σ e :

σ c r = P c r A

σ c r = 43   k N π × 0,02 2   m 2

∴ σ c r = 34,27   M P a

σ c r = 49,35   M P a < σ e = 250   M P a

Como σ c r < σ e , a carga crítica é admissível nessa haste.

Passo 4

Agora, vamos calcular para a haste B C .

Fórmula de cálculo da força crítica na flambagem:

P c r = π 2 E I ( k L ) 2

Como as extremidades estão presas por pinos, temos k = 1 .

E temos, também, por ser dado no enunciado que é um aço A - 36 :

E = 200 × 10 9   P a

P c r = π 2 ( 200 × 10 9   P a ) ( π 4 0,02 4   m 4 ) ( 1 × 1,5   m ) 2

∴ P c r = 110,2   k N

P c r = F B C = 1,667 P

110,2   k N = 1,667 P

∴ P = 66,13   k N

Passo 5

E finalmente vamos calcular a tensão devido à carga para verificar o se ela ultrapassa o escoamento:

σ c r = P c r A

σ c r = 110,2   k N π × 0,02 2   m 2

∴ σ c r = 87,73   M P a

σ c r = 87,73   M P a < σ e = 250   M P a

Como σ c r < σ e , a carga crítica é admissível nessa haste.

Resposta

Como a carga crítica para que haja flambagem na haste A B é menor do que a carga para a haste B C , então ela que deve ser escolhida:

P = 32,3   k N

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