2.43. Em um pátio de ferro-velho, um eletroímã de 3000 lb de peso em repouso enquanto sustenta um automóvel de 2000 lb de peso. A corrente elétrica é desligada, e o automóvel cai. Adimitindo que a constante elástica equivalente do conjunto guindaste-cabo de sustentação seja 10000 lb/in, determine o seguinte

a) a frequência natural de vibração do eletroímã;

b) o movimento resultante do eletroímã;

c)a tensão máxima desenvolvida no cabo durante o movimento.

Passo 1

Beleza, vamos começar com o item (a). A frequência natural sem o automóvel pode ser calculada da seguinte maneira:

ω n = k M

O enunciado nos dá

k = 10000 l b i n

E nos dá o peso do eletroímã. Como o peso é igual a massa vezes a gravidade, basta dividir o peso pela gravidade para obtermos a massa

M = 3000 386,4

Substituindo os valores

ω n = 10000 3000 386,4 = 35,8887 r a d s

E simples assim respondemos o item (a).

Passo 2

Agora vamos para o item (b). Quando o automóvel é solto o eletroímã se move um pouco para cima, uma distância x 0 da posição de equilíbrio. Então podemos dizer que x 0 é o alongamento do cabo devido ao peso do automóvel.

x 0 = P a u t o m ó v e l k = 2000 10000 = 0,2   i n

Esse é o tanto que o eletroímã se move.

Podemos dizer que

x ˙ 0 = 0

Porque x 0 vai ser o ápice do movimento.

E que a equação de movimento é

x t = A 0 sin ⁡ ω n t + ϕ 0

Em que

A 0 = x 0 2 + x ˙ 0 ω n 2

Que fica

A 0 = x 0 = 0,2   i n

E podemos calcular também

ϕ 0 = tan - 1 ⁡ x 0 ω n x ˙ 0

Como x ˙ 0 = 0 , x 0 ω n x ˙ 0 vai ser impossível de resolver, mas sabemos que no limite se aproxima do infinito, então podemos afirmar que

ϕ 0 = 90 °

Logo a nossa equação final substituindo os valores é:

x t = 0,2 sin ⁡ ( 35,8887   t + 90 ° )

Passo 3

Já estamos no último item. Queremos descobrir a tensão máxima agora.

A tensão máxima pode ser calculada como a soma da força máxima da mola com o peso do eletroímã.

T m a x = k   x m a x + P e l e t r o í m ã

Substituindo os valores

T m a x = 10000 ⋅ 0,2 + 3000 = 5000   l b

E assim terminamos mais uma.

Resposta

a : ω n = 35,8887 r a d s b :   x t = 0,2 sin ⁡ ( 35,8887   t + 90 ° ) c :   T m a x = 5000   l b

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