A velocidade máxima obtida pela massa de um oscilador harmônico simples é 10 cm/s, e o período de oscilação é 2 s. Se a massa for solta com um deslocamento inicial de 2 cm, determine:

  1. a amplitude;
  2. a velocidade inicial;
  3. a aceleração máxima;
  4. o ângulo de fase.

Passo 1

Vamos lá resolver mais essa. O movimento de translação do oscilador harmônico pode ser expresso como:

x = A cos ⁡ ω n t - ϕ 0

A velocidade do sistema é dada pela derivada temporal de x:

x ˙ = - ω n A sin ⁡ ( ω n t - ϕ 0 )

E a aceleração é dada pela derivada temporal da velocidade:

x ¨ =   - ω n 2 A cos ⁡ ( ω n t - ϕ 0 )

Passo 2

A velocidade máxima é dada por:

x ˙ m á x = ω n A

A frequência natural pode ser calculada usando o período natural:

τ n = 2 π ω n → ω n = 2 π 2 = 3,1416   r a d / s

Assim a amplitude será:

A = 0,1 ω n = 0,03183   m

O ângulo de fase pode ser calculado pela equação do movimento, a partir da posição inicial:

x 0 = A cos ⁡ ( - ϕ 0 )

cos ⁡ ( - ϕ 0 ) = 0,02 A = 0,6283

ϕ 0 = arccos ⁡ 0,6283 = 51,07 °

Passo 3

A velocidade inicial, quando t = 0, é:

x ˙ 0 =   - ω n A sin ⁡ ( - ϕ 0 )

x ˙ 0 = - 0,02 ⋅ 3,14 sin ⁡ - 51,07 ° = 0,07779   m / s

A aceleração máxima é:

x ¨ m á x = ω n 2 A

x ¨ m á x = 3,1416 2 ⋅ 0,03183 = 0,3142   m / s 2

Resposta

  1. 3,1416 rad/s
  2. 0,07779 m/s
  3. 0,3142 m/s²
  4. 51,07°
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