Enunciado

25. Uma haste de um quarto de círculo de peso W e seção transversal uniforme é apoiada tal como mostra a figura. Determine o momento fletor no ponto J   quando θ = 30 ° .

Passo 1

Bom! Primeiramente vamos fazer o esboço de todas as forças presentes no nosso sistema A B , o chamado diagrama de corpo livre:

E agora, vamos tratar de fazer o somatório dos momentos em relação a um ponto de nosso interesse. Que tal o ponto B ?

⤹ + ∑ M B = 0

2 r π W - r A y = 0

A y = 2 W π       ↑

Já obtemos A y , né não!! Pra não perder viagem, o que acha de tentarmos obter A x . Para fazer isso, basta usar o somatório das forças na direção x :

→ + ∑ F x = 0

A x = 0

Olha que beleza! Não tem reação no eixo x :

Depois, a próxima coisa que temos que fazer é o esboço de uma pequena seção do elemento; afinal queremos achar o esforço cortante e momento fletor, para um ângulo θ   de 30 ° , não é mesmo:

Com isso, vamos determinar o quanto vale a distância r - , que vai até a borda inferior, através da relação entre o comprimento do arco e o valor em radianos do ângulo:

r ⋅ sen ⁡ 15 ° = r - ⋅ 15 π 180   r a d = r - sen ⁡ 15 ° ⋅ π 12   r a d

r - = r π / 12 ⋅ sen ⁡ 15 ° = 0,98862 r

E como estamos trabalhando com um ângulo de 30 ° , então nosso peso presente no elemento será um terço de W :

30 ° 90 ° ⋅ W = 1 3 W

Passo 2

E agora, que definimos duas novas direções para o nosso elemento, a radial e a tangencial, vamos fazer o somatório das forças na direção tangencial, no eixo y ' :

↗ + ∑ F y ' = 0

- F - W 3 ⋅ cos ⁡ 30 ° + 2 W π ⋅ cos ⁡ 30 ° = 0

F = W 3 2 2 π - 1 3       ↙

Finalmente, para descobrir o quanto vale o momento fletor, vamos fazer o somatório dos momentos em relação ao ponto O da figura desenhada no P a s s o   1 :

⤹ + ∑ M O = 0

r F - 2 W π + r - cos ⁡ 15 ° W 3 + M = 0

M = - r F - 2 W π + r - cos ⁡ 15 ° W 3

M = - r W 3 2 2 π - 1 3 - 2 W π + r - cos ⁡ 15 ° W 3

M = - W r 3 2 2 π - 1 3 - 2 π + W r 0,98862 cos ⁡ 15 ° 3

M = - W r 3 2 2 π - 1 3 - 2 π + 0,98862 cos ⁡ 15 ° 3

M = 0,0557 W r     ⤹

Logo, como obtemos um valor positivo, o momento fletor, que chamaremos de M J , está no sentido anti-horário e é dado por:

M J = 0,0557 W r     ⤹

Resposta

M J = 0,0557 W r     ⤹

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