Enunciado

88- Uma haste uniforme A B de comprimento 2 R está apoiada dentro de um recipiente semiesférico de raio R tal como mostra a figura. Desprezando o atrito, determine o ângulo θ correspondente a condição de equilíbrio.

Passo 1

A reação em A aponta para o centro do círculo pois todo raio de um círculo é normal a superfície circular. Já como um pouco antes de B vem uma quina apenas podemos dizer que a força é perpendicular a barra A B a essa força vamos dar o nome de F essas duas forças encontram-se exatamente acima do centro de gravidade da barra formando o seguinte diagrama de forças desenhado abaixo.

Passo 2

Agora vem o problema geométrico da questão, para isso vamos dar nome aos pontos e as medidas que temos só de olhar para a figura.

Eita ficou complexo, vamos dizer um roteiro de como achar isso tudo:

Foi nos dado que o ângulo E Â F vale θ

Logo pela propriedade dos ângulos A F ^ O também valerá θ

Por termos um triângulo isósceles A F O então F Â O será θ

Isso fará com que pra que some 180 A Ô F valha 180 - 2 θ porém o ângulo do quarto quadrante vale 90 logo A Ô E será 90 - 2 θ

Para que dê 90 graus no terceiro quadrante A Ô B vale 2 θ

E finalmente por ser ângulo oposto F Ô C será 2 θ

Acho que deu para ficar mais claro a imagem.

Passo 3

Mas espera pelo roteiro dado nós não utilizamos o ponto G para nada (sem besteiras aqui) é aqui que nós iremos utilizar-lo (repito sem besteiras)

O comprimento de A G vale R pois é a metade do comprimento da barra, enquanto A C vale 2 R como G está exatamente abaixo de C nós podemos rebater os dois na horizontal e conseguir a mesma distância e com isso nós iremos ter:

A C cos ⁡ 2 θ = A G cos ⁡ θ

2 R cos ⁡ 2 θ = R cos ⁡ θ

cos ⁡ 2 θ = 1 2 cos ⁡ θ

2 cos ⁡ 2 θ = cos ⁡ θ

Porém cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ e sin 2 ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ , logo:

2 cos 2 ⁡ θ - 1 + cos 2 ⁡ θ = cos ⁡ θ

4 cos 2 ⁡ θ - 2 = cos ⁡ θ

Então:

4 cos 2 ⁡ θ - cos ⁡ θ - 2 = 0

Se fizermos x = cos ⁡ θ   nós teremos a seguinte equação do segundo grau:

4 x 2 - x - 2 = 0

Cujas raízes serão:

x 1 = - 0.593 ; x 2 = 0.843

Ou seja temos dois ângulos iguais a:

cos ⁡ θ 1 = - 0.593 → θ 1 = 126.37 °

cos ⁡ θ 2 = 0.843 → θ 2 = 32.54 °

Porém θ pelo nosso raciocínio é um ângulo agudo, sendo então a única resposta plausível.

θ = 32.54 °

Resposta

θ = 32.54 °

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Desprezando-se o peso da barra, determine (a) o ângulo θ para equilíbrio em função dos termos fornecidos e (b) ) o ângulo θ para equilíbrio em função dos termos fornecidos se P = 2 W .
Se a mola está indeformada quando θ = 0 , desprezando o peso dos blocos, deduza (a) uma fórmula para que deve ser satisfeita para equilíbrio e (b) determine o valor de θ para equilíbrio se W = 300 N ,
Sabendo que θ = 60 , determine as reações em (a) B e (b) em C.
Para a figura a seguir, (a) determine a equação em termo dos dados fornecidos para que o sistema esteja em equilíbrio e (b) determine o valor do ângulo para equilíbrio quando M = 150 N m ,P = 200 Nel
Sabendo que θ = 30 , determine as reações em (a) B e (b) em C.