Enunciado

28. Para a haste do problema 7.26 , determine a intensidade e a localização do momento fletor máximo:

Passo 1

Bom, vamos lá tratar de resolver esse probleminha. Baseado no que já sabemos, qual é a primeira coisa que temos que fazer para dar inicío à solução do nosso exercício?

É isso mesmo que você está pensando! Bora tratar de fazer o diagrama de corpo livre para a nossa haste, tratando de representar todas as forças possíveis:

Feito essa belezinha de desenho, vamos agora analisar as forças e momentos presentes no nosso sistema. Para isso, temos que recorrer a uma ferramenta que com certeza, você já está cansado de saber, o somatório das forças em x e y e também de momento.

Diferentemente do problema anterior, vamos tentar resolver esse problema partindo do ponto A , que vai nos permitir trabalhar com apenas uma força, atuando em B . E para isso, façamos o somatórios dos momentos em relação a esse ponto:

⤹ + ∑ M A = 0

- 2 r π W + r B = 0

B = 2 W π       ←

Passo 2

Como já obtemos o valor da força atuante no ponto B , olha só a próxima coisa que temos que fazer. Vamos separar uma pequena seção do elemento A B , indo do ponto B até um ponto qualquer que chamaremos de J . Neste elemento é que vamos poder encontrar o esforço cortante e momento fletor, como representado na imagem abaixo:

Repara só na imagem! O ângulo θ do problema é representado como o dobro de α :

α = θ 2

θ = 2 α

E de problemas anteriores, estamos carecas de saber que:

r - = r α ⋅ sen ⁡ α

Só que como W é o peso total do elemento A B , uma vez que estamos trabalhando apenas com uma seção desse elemento, temos que essa seção vai ser proporcional ao ângulo α que temos, de acordo com a seguinte relação:

P e s o   d o   e l e m e n t o = W ⋅ 2 α π 2 = W ⋅ 4 α π

Passo 3

Agora, olhemos novamente a figura do P a s s o   2 :

Tá vendo esse eixo x ' aí!! Esse é o eixo da direção tangencial. Vamos fazer o somatório de todas as forças nessa direção e então, obter o valor da força F :

⤹ + ∑ F x ' = 0

F - 4 α π W ⋅ cos ⁡ 2 α - 2 W π ⋅ sen ⁡ 2 α = 0

F = 2 W π ( sen ⁡ 2 α + 2 α cos ⁡ 2 a )

F = 2 W π ( sen ⁡ θ + θ cos ⁡ θ )

E como já sabemos o valor de F ; para descobrir o quanto vale o momento fletor, vamos fazer o somatório dos momentos em relação ao ponto O :

⤹ + ∑ M O = 0

F r - r - cos ⁡ α 4 α π W + M = 0

M = - F r + r - cos ⁡ α 4 α π W

M = - 2 W π sen ⁡ θ + θ cos ⁡ θ r + r α ⋅ sen ⁡ α ⋅ cos ⁡ α 4 α π W

Só que:

sen ⁡ α cos ⁡ α = 1 2 sen ⁡ 2 α = 1 2 sen ⁡ θ

O que nos leva à:

M = - 2 W π sen ⁡ θ + θ cos ⁡ θ r + r α ⋅ 1 2 sen ⁡ θ 4 α π W

M = - 2 W r π sen ⁡ θ + θ cos ⁡ θ + 2 W r π ⋅ sen ⁡ θ

M = 2 W r π ( sen ⁡ θ - sen ⁡ θ - θ cos ⁡ θ )

M = - 2 W r π θ cos ⁡ θ

Essa é a nossa expressão final do momento fletor! Coisinha mais complicada, não!? Bom! Lembra lá do Cálculo 1 , a ferramenta que a gente usa para achar o ponto onde determinada expressão adquire valor máximo.

Isso aí mesmo que você está pensando! Temos que tirar a primeira derivada dessa expressãozinha aí do momento e igualá-la a zero. Desse jeito, encontraremos nossa resposta:

d M d θ = d d θ - 2 W r π θ cos ⁡ θ

d M d θ = - 2 r W π θ cos ⁡ θ

d M d θ = 2 r W π cos ⁡ θ - θ sen ⁡ θ

E tá na cara que isso aí vai valer zero, quando:

cos ⁡ θ - θ sen ⁡ θ = 0

θ sen ⁡ θ = cos ⁡ θ

θ = cos ⁡ θ sen ⁡ θ

θ = 1 tan ⁡ θ

θ ⋅ tan ⁡ θ = 1

A expansão por série da tangente de θ , para ângulos muito pequenos é dada por:

tan ⁡ θ ≈ θ + θ 3 3 + …

Vamos substituir essa nova relaçãozinha que descobrimos, na fórmula anterior e resolver tudo como se fosse uma equação polinomial:

θ ⋅ tan ⁡ θ = 1

θ ⋅ θ + θ 3 3 = 1

θ 2 + θ 4 3 = 1

Essa belezura daí de cima é uma equação do 4 ° grau. Vai dar um certo trabalhindo pra resolvê-la, já que por ser de um grau alto, o objetivo aqui é resolvê-la como se fosse uma equação de um grau mais baixo. Bora lá! Vamos substituir o θ 2 da fórmula por uma letra w :

θ 2 + θ 4 3 = 1

w + w 2 3 = 1

Pronto! Ficamos com uma equação de 2 ° grau. Vamos tratar de resolvê-la:

w + w 2 3 = 1

3 w + w 2 = 3

w 2 + 3 w - 3 = 0

E como sabemos que as raízes de uma equação do segundo grau, são dadas por:

w = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

w = - 3 ± 3 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( - 3 ) 2

w = 0,7913   o u   w = - 3,7913

Nós só queremos o valor positivo. Primeiro, porque a fórmula da expansão trabalha com valores pequenos; segundo, porque o w é igual a θ 2 . Só isso, já nos faz rejeitar qualquer valor negativo.

Voltando ao que interessa! Se:

θ 2 = w

Então, chegamos à seguinte igualdade:

θ 2 = 0,7913

θ = 0,7913

θ ≈ 0,88   r a d

E o valor de M , para esse resultado é:

M = - 2 W r π θ cos ⁡ θ

M = - 2 W r π 0,88 cos ⁡ 0,88  

M ≅ - 0,357 W r

Ahhh! E antes que alguém pergunte o porquê do nosso resultado dar negativo, isto ocorre simplesmente devido ao fato de que o momento fletor vai estar no sentido oposto ao adotado pela nossa convenção, ou seja, no sentido horário.

O fato é que o nosso momento máximo, M m á x , é dado por:

M m á x ≅ 0,357 W r   ⤸

Resposta

M m á x ≅ 0,357 W r   ⤸  

O c o r r e   p a r a   θ = 0,88   r a d   o u   θ ≅ 50,42 °

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O suporte B C D é articulado em C e preso a um cabo de controle em B . Para o carregamento mostrado na figura, determine (a) a tração no cabo, (b) a reação em C .
A tração necessária no cabo A B é 800N . Determine (a) a força vertical P que deve ser aplicada ao pedal, (b) a reação correspondente em C .
Determine as reações em A e B quando (a) h = 0 , (b) h = 200m m .
Para cada uma das placas e carregamentos mostrados nas figuras, determine as reações em A e B .
Para a estrutura e carregamento mostrados na figura, determine as reações A e E quando (a) α = 30 ° e (b) α = 45 ° .