Enunciado

27. Para a haste do problema 7.25 , determine a intensidade e a localização do momento fletor máximo:

Passo 1

Bom, vamos lá tratar de resolver esse probleminha. Baseado no que já sabemos, qual é a primeira coisa que temos que fazer para dar inicío à solução do nosso exercício?

É isso mesmo que você está pensando! Bora tratar de fazer o diagrama de corpo livre para a nossa haste, tratando de representar todas as forças possíveis:

Feito essa belezinha de desenho, vamos agora analisar as forças e momentos presentes no nosso sistema. Para isso, temos que recorrer a uma ferramenta que com certeza, você já está cansado de saber, o somatório das forças em x e y e também de momento.

Vamos lá! Primeiramente, vamos tratar de fazer o somatório das forças no eixo x , e quem sabe podemos descobrir o quanto vale aquele A x :

→ + ∑ F x = 0

A x = 0

Olha que maravilha! Não tem reação no eixo x :

Existem duas maneiras de tentar achar aquele A y , o somatório das forças em y ou o somatório dos momentos em relação a um ponto de nosso interesse. Vamos escolher a segunda opção, porque nos permite trabalhar com menos forças. E em relação ao ponto de interesse, que tal o ponto B ?

⤹ + ∑ M B = 0

2 r π W - r A y = 0

A y = 2 W π       ↑

Passo 2

Como já obtemos o valor das reações no ponto A , olha só a próxima coisa que temos que fazer. Vamos separar uma pequena seção do elemento A B , indo do ponto A até um ponto qualquer que chamaremos de J . Neste elemento é que vamos poder encontrar o esforço cortante e momento fletor, como representado na imagem abaixo:

Repara só na imagem! O ângulo θ do problema é representado como o dobro de α :

α = θ 2

E de problemas anteriores, estamos carecas de saber que:

r - = r α ⋅ sen ⁡ α

Só que como W é o peso total do elemento A B , uma vez que estamos trabalhando apenas com uma seção desse elemento, temos que essa seção vai ser proporcional ao ângulo α que temos, de acordo com a seguinte relação:

P e s o   d o   e l e m e n t o = W ⋅ 2 α π 2 = W ⋅ 4 α π

Passo 3

E então, olhemos novamente a figura:

Tá vendo esse eixo x ' aí!! Esse é o eixo da direção tangencial. Vamos fazer o somatório de todas as forças nessa direção e então, obter o valor da força F :

⤹ + ∑ F x ' = 0

- F - 4 α π W ⋅ cos ⁡ 2 α + 2 W π ⋅ cos ⁡ 2 α = 0

F = 2 W π ( 1 - 2 α ) ( cos ⁡ 2 a )

F = 2 W π ( 1 - θ ) ( cos ⁡ θ )

E como já sabemos o valor de F ; para descobrir o quanto vale o momento fletor, vamos fazer o somatório dos momentos em relação ao ponto O :

⤹ + ∑ M O = 0

F - 2 W r r + r - cos ⁡ α W ⋅ 4 α π + M = 0

M = - 2 W π ( 1 - θ ) ( cos ⁡ θ ) - 2 W r r + r - cos ⁡ α W ⋅ 4 α π

M = 2 W π 1 + θ cos ⁡ θ - cos ⁡ θ r - 4 α W π ⋅ r α sen ⁡ α cos ⁡ α

Só que:

sen ⁡ α cos ⁡ α = 1 2 sen ⁡ 2 α = 1 2 sen ⁡ θ

O que nos leva a:

M = 2 W π 1 + θ cos ⁡ θ - cos ⁡ θ r - 4 α W π ⋅ r α ⋅ sen ⁡ 2 α 2

M = 2 W π 1 + θ cos ⁡ θ - cos ⁡ θ r - 2 W r π ⋅ sen ⁡ θ

M = 2 W π 1 + θ cos ⁡ θ - cos ⁡ θ - sen ⁡ θ r

Essa é a nossa expressão final do momento fletor! Coisinha mais complicada, não!? Bom! Lembra lá do Cálculo 1 , a ferramenta que a gente usa para achar o ponto onde determinada expressão adquire valor máximo.

Isso aí mesmo que você está pensando! Temos que tirar a primeira derivada dessa expressãozinha aí do momento e igualá-la a zero. Desse jeito, encontraremos nossa resposta:

d M d θ = d d θ 2 W π 1 + θ cos ⁡ θ - cos ⁡ θ - sen ⁡ θ r

d M d θ = 2 r W π sen ⁡ θ - θ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ - cos ⁡ θ

d M d θ = 2 r W π sen ⁡ θ - θ sen ⁡ θ

E tá na cara que isso aí vai valer zero, quando:

sen ⁡ θ - θ sen ⁡ θ = 0

1 - θ sen ⁡ θ = 0

1 - θ = 0

θ = 1

sen ⁡ θ = 0

θ = 0

Como obtemos dois valores, vamos testá-los na expressão do momento e ver qual dos dois é o maior:

Para θ = 1   r a d :

M = 2 W π 1 + θ cos ⁡ θ - cos ⁡ θ - sen ⁡ θ r

M = 2 W π 1 + 1 cos ⁡ 1 - cos ⁡ 1 - sen ⁡ 1 r

M = 0,1009 W r

Para θ = 0 :

M = 2 W π 1 + θ cos ⁡ θ - cos ⁡ θ - sen ⁡ θ r

M = 2 W π 1 + 0 cos ⁡ 0 - cos ⁡ 0 - sen ⁡ 0 r

M = 0

Logo, nosso momento máximo, M m á x , é dado por:

M m á x = 0,1009 W r

Resposta

M m á x = 0,1009 W r ,   p a r a     θ = 1   r a d   o u   θ = 57,3 °  

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