Enunciado

3.21. Se a tração desenvolvida em cada um dos quatro fios não pode exceder 600   N , determine a maior massa do candelabro que pode ser suportada.

Passo 1

Falaaa! Queremos a maior massa que o candelabro pode ter, sabendo que a maior força T nesses fios não pode ultrapassar 600 N.

Primeira coisa a fazer nesse tipo de exercício é o diagrama de corpo livre. Vamos fazer para os pontos B e D :

Para resolver esse exercício usaremos as equações de equilíbrio nos eixos x e y. Primeiro faremos isso para o ponto D da figura, onde estarão agindo F C D ,     F B D e o peso do candelabro.

Depois disso faremos a mesma coisa para o ponto B na figura.

Dessa forma, descobriremos quem é a maior força atuando nos cabos e quem é m máxima. Vamos!

Passo 2

Como estamos no equilíbrio, as forças resultantes nos eixos precisam zerar

F R x = 0

F R y = 0

Aí a gente acha expressões para essas forças e iguala a zero.

Vamos começar calculando F R x no ponto D.

F R x = F C D ⋅ cos ⁡ 30 ° - F B D ⋅ cos ⁡ 45 ° = 0

Então

Agora vamos fazer o mesmo para F R y

F R y = F C D ⋅ sin ⁡ 30 ° + F B D ⋅ sin ⁡ 45 ° - m ⋅ g = 0

Passo 3

Agora temos duas incógnitas (sem contar com m ) e duas equações, vamos resolva-las.

Aqui a gente pode usar um truque, repare que sin ⁡ 45 ° = cos ⁡ 45 ° , então se somarmos as equações teremos

F C D ⋅ cos ⁡ 30 ° - F B D ⋅ cos ⁡ 45 ° + F C D ⋅ sin ⁡ 30 ° + F B D ⋅ sin ⁡ 45 ° - 50 ⋅ g = 0

F C D ⋅ cos ⁡ 30 ° + F C D ⋅ sin ⁡ 30 ° - F B D ⋅ cos ⁡ 45 ° + F B D ⋅ sin ⁡ 45 ° - 50 ⋅ g = 0

F C D ⋅ cos ⁡ 30 ° + F C D ⋅ sin ⁡ 30 ° = m ⋅ g

F C D ⋅ ( cos ⁡ 30 ° + sin ⁡ 30 ° ) = m ⋅ g

Considerando g = 9,81   m / s 2

F C D = m ⋅ g ( cos ⁡ 30 ° + sin ⁡ 30 ° ) = 7,1814 ⋅ m

Conseguimos F C D em função de m . Vamos achar uma expressão assim para todas as forças.

Passo 4

Agora com F C D podemos determina F B D

F C D ⋅ cos ⁡ 30 ° - F B D ⋅ cos ⁡ 45 ° = 0

F B D = F C D ⋅ cos ⁡ 30 ° cos ⁡ 45 ° = 7,1814 ⋅ m ⋅ cos ⁡ 30 ° cos ⁡ 45 ° = 8,7954 ⋅ m

Passo 5

Agora vamos usar a equação de equilíbrio no ponto B. Novamente as resultantes zera.

F R y = F A B ⋅ sin ⁡ 30 ° - F B D ⋅ sin ⁡ 45 ° = 0

Então

F A B ⋅ sin ⁡ 30 ° = F B D ⋅ sin ⁡ 45 °

F A B = F B D ⋅ sin ⁡ 45 ° sin ⁡ 30 ° = 8,7954 ⋅ m ⋅ sin ⁡ 45 ° sin ⁡ 30 ° = 12,4386 ⋅ m

Agora o eixo x

F R x = F B C ⋅ cos ⁡ 45 ° + F B D ⋅ cos ⁡ 45 ° - F A B ⋅ cos ⁡ 30 ° = 0

Vamos isolar F B C

F B C ⋅ cos ⁡ 45 ° = F A B ⋅ cos ⁡ 30 ° - F B D ⋅ cos ⁡ 45 °

F B C = F A B ⋅ cos ⁡ 30 ° - F B D ⋅ cos ⁡ 45 ° cos ⁡ 45 ° = 12,4386 ⋅ m ⋅ cos ⁡ 30 ° - 8,7954 ⋅ m ⋅ cos ⁡ 45 ° cos ⁡ 45 °

F B C = 4,5528 ⋅ m  

Passo 6

Note que F A B é maior do que todas as outras forças, então se F A B for menor que 600   N todas as outras forças também serão consequentemente, logo

F A B = 600 = 12,4386 ⋅ m

m = 600 12,4386 = 48,2   k g

Resposta

48,2   k g

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