Enunciado

36. Determine a carga máxima admissível P que pode ser aplicada ao elemento estrutural B C sem provocar flambagem no elemento estrutural A B . Considere que A B é feito de aço e que suas extremidades estejam presas por pinos para flambagem no eixo x - x e engastadas para flambagem no eixo y - y . Use um fator de segurança F . S .   =   3 para flambagem. E a ç o   =   200   G P a , σ e = 360   M P a .

Passo 1

Falaaa! Queremos a carga P máxima que não causa flambagem na nossa coluna A B . Basicamente vamos achar a carga na nossa coluna em função de P e comparar com as cargas críticas da flambagem para descobrir P .

Mas repara que a gente tem condições diferentes de apoios em cada eixo. Vamos precisar determinar P baseado em cada um dos eixos.

Lembrando que para o aço, E = 200   G P a .

Primeiro, vamos montar o diagrama de corpo livre da barra B C :

Dessa imagem, é fácil a gente ver que a reação R C tem o mesmo valor da reação R B devido à simetria do diagrama. Assim, como só há uma força P aplicada, cada reação vale P / 2 .

Passo 2

Agora, vamos calcular a carga para a haste A B .

O diagrama de corpo livre da barra:

Como calculamos no Passo 1 , R B = P / 2 .

Passo 3

Agora, vamos calcular a a força crítica P c r pela relação com a força P e o fator de segurança:

F . S . = P c r P

3 = P c r P / 2

P c r = 3 × P / 2

∴ P c r = 1,5 P

Esse vai ser o valor que vamos considerar de força na nossa barra A B . Igualamos ela a carga crítica porque queremos que ela seja a carga limite para a coluna não flambar.

Passo 4

Aqui, vamos calcular a carga crítica para que não haja flambagem no eixo x - x .

P c r = π 2 E I x ( k L ) 2

Como as extremidades estão presas por pinos, temos k = 1 .

O momento de inércia no eixo x , como é uma seção retangular, é dado pela fórmula:

I = 1 12 ( b h 3 )

Onde b é a aresta paralela ao eixo e h é a aresta perpendicular ao eixo.

∴ I = 1 12 0,2 × 0,3 3   m 4

I = 4,5 × 10 - 8   m 4

P c r = π 2 ( 200 × 10 9   P a ) ( 4,5 × 10 - 8   m 4 ) ( 1 × 2   m ) 2

Mas como P c r = 1,5 P , podemos descobrir P para o eixo x :

1,5 P = π 2 ( 200 × 10 9   P a ) ( 4,5 × 10 - 8   m 4 ) ( 1 × 2   m ) 2

∴ P = 14,8   k N

Passo 5

Para verificar se a carga causada por esse P é admissível, vamos calcular a tensão criada pela força pela força crítica na barra A B :

σ c r = P c r A

σ c r = 1,5 × 14,8   k N 0,02 × 0,03   m 2

∴ σ c r = 37,01   M P a

Como a tensão de escoamento σ e é 360   M P a , a tensão crítica é menor que ela, portanto a força calculada é admissível.

Passo 6

Vamos fazer o mesmo procedimento para achar P segundo o eixo y .

Já sabemos, também, a força P c r , que é igual a 1,5 P . Agora, é só substituir os valores na fórmula:

P c r = π 2 E I y ( k L ) 2

Lembrando que o eixo y - y está engastado, portanto k = 0,5 .

P c r = π 2 E I y ( k L ) 2

P c r = π 2 ( 200 × 10 9   P a ) ( 0,03 × 0,02 3 12   m 4 ) ( 0,5 × 2   m ) 2

1,5 P = π 2 ( 200 × 10 9   P a ) ( 0,03 × 0,02 3 12   m 4 ) ( 0,5 × 2   m ) 2

∴ P = 26,32   k N

Passo 7

Por fim, vamos calcular a tensão devido à força crítica σ c r para verificar se ele ultrapassa a tensão de escoamento σ e :

σ c r = P c r A

σ c r = 1,5 × 26,32   k N 0,02 × 0,03   m 2

∴ σ c r = 65,80   M P a

Como σ c r < σ e , a carga crítica é admissível.

Resposta

Devido a força admissível no eixo x - x ser menor do que a força admissível no eixo y - y , ela que deve ser considerada como resultado final:

∴ P = 14,8   k N

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