Enunciado

68. Determine o estado de tensão equivalente se um elemento estiver orientado a 30 ° em sentido horário em relação ao elemento mostrado. Mostre o resultado no elemento.

Passo 1

Da figura do enunciado, tiramos que:

σ x = 350   M P a ,   t e n s ã o   d e   t r a ç ã o

σ y = 230   M P a ,   t e n s ã o   d e   t r a ç ã o  

τ x y = - 480   k P a ,   a s   s e t a s   c o n v e r g e m   p a r a   o   2 °   e   4 °   q u a d r a n t e

Para construir o nosso famoso Círculo de Mohr a primeira coisa que temos que fazer é determinar o centro do círculo, que será dado através da fórmula da tensão média σ m e d abaixo:

σ m e d = σ x + σ y 2

E substituindo os valores numéricos correspondentes, chegamos à:

σ m e d = 350   M P a + 230   M P a 2

σ m e d = 290   M P a   ( C e n t r o   d o   c í r c u l o )

Depois, a próxima coisa que temos que fazer é achar o raio R do círculo através da fórmula da tensão máxima de cisalhamento τ m á x , que é dada por:

R = τ m á x = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Trocando os valores de cada variável, obtemos nosso raio como:

R = τ x y = 350   M P a - 230   M P a 2 2 + ( - 480   M P a ) 2

R = τ x y ≅ 483,73   M P a

Passo 2

Obtido o raio e o centro, já podemos construir o nosso círculo, que vai ter a seguinte cara da figura abaixo. Ah! Só lembrando aqui que nosso elemento está orientado de um ângulo de 60 ° no sentido anti-horário, de modo que ele vai aparecer no nosso círculo com o dobro do seu valor, isto é,   60 ° .

O próximo passo agora, é determinar o nosso ângulo φ , que se for olhar bem o círculo, é dado por:

φ = 480   M P a 350   M P a - 290   M P a

tan ⁡ φ = 480 60

φ = tan - 1 ⁡ 8

φ = 82,87 °

E o nosso ângulo   θ que queremos para realizar nossos cálculos é dado pela subtração abaixo, conforme dá pra ver no círculo de Mohr:

θ = φ - 60 °

θ ≅ 82,87 ° - 60 °

θ ≅ 22,87 °

Passo 3

Agora, basta olhar o círculo novamente para encontrar as fórmulas de nossas tensões de estado plano, que são dadas por:

σ x ' ≅ 290 + R cos ⁡ 22,87 °

σ y ' ≅ 290 - R cos ⁡ 22,87 °

τ x ' y ' ≅ - R sen ⁡ 22,87 °

Substituindo os valores numéricos pertinentes, chegamos à:

σ x ' ≅ ( 290 + 483,73 cos ⁡ 22,87 ° )   M P a

σ y ' ≅ ( 290 - 483,73 cos ⁡ 22,87 ° )   M P a

τ x ' y ' ≅ ( - 483,73 sen ⁡ 22,87 ° )   M P a

E aqui está o resultado:

σ x ' ≅ 736   M P a

σ y ' ≅ - 156   M P a

τ x ' y ' ≅ - 188   M P a

Pra não perder a viagem, vamos fazer também fazer o esboço de nosso querido elemento né; que vai ter a seguinte aparência:

Resposta

σ x ' ≅ 736   M P a

σ y ' ≅ - 156   M P a

τ x ' y ' ≅ - 188   M P a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

59. Resolva o Problema 9.10 usando o círculo de Mohr.
56. Resolva o Problema 9.4 usando o círculo de Mohr.
58. Resolva o Problema 9.3 usando o círculo de Mohr.
60. Resolva o Problema 9.6 usando o círculo de Mohr.
16. As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre a aba do pino são ϵ x = ( 200 × 10 - 6 ) , ϵ y = ( 180 × 10 - 6 ) e γ x y = ( - 300 × 10 - 6 ) . Use as equações de transformação da def