Enunciado

36. Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, (a) trace os diagramas de esforço cortante e de momento fletor, (b) determine os valores absolutos máximos do esforço cortante e do momento fletor.

Passo 1

Bom! Vamos dar uma olhadinha na figura do enunciado e ver onde podemos começar nossa análise:

Olha só! A primeira coisa que temos que fazer é definir por onde vamos começar nosso estudo. Que tal fazermos isso, com nossa direção indo do ponto A até o ponto B ?

Sendo assim, se começarmos pelo ponto A , vamos ter que descobrir as reações que ocorrem em A , né não?

Para fazer isso, tratemos de construir o diagrama de corpo livre para a viga:

Bom, tá meio na cara que não vai ter reação nenhuma em x ; afinal de contas, que outra força existe nesse esvoço aí que fizemos para rivalizar com A x . E para descobrir a reação A y , tratemos de fazer o somatório dos momentos em relação ao ponto D :

⤹ + ∑ M D = 0

- 3,2 A y + 40 ⋅ 2,6 + 32 ⋅ 1,7 + 16 ⋅ 0,2 = 0

3,2 A y = 161,6

A y = 161,6   k N 3,2

A y = 50,5   k N     ↑

E depois, façamos o somatório das forças em y , para descobrir B y :

↑ + ∑ F y = 0

A y + B y - 40   k N - 32   k N - ( 16   k N ) = 0

( 50,5   k N ) + B y - 40   k N - 32   k N - ( 16   k N ) = 0

B y = 37,5   k N     ↑

Passo 2

Pronto! Já obtivemos as reações que precisávamos! Bora logo tratar de descobrir os esforços cortantes e momentos fletores e para isso, temos que separar a viga em vários trechos e analisá-los separadamente, com nossa investigação indo do ponto A até o ponto final em B :

Bora lá!! O primeiro trecho é o A C , e o diagrama de corpo livre para esse trecho está logo abaixo:

Diante dessa belezinha de imagem, fica até fácil saber o que temos fazer. Ora bolas! Para achar o esforço cortante, basta fazer o somatório das forças em y . Olho lá, na nossa convenção adotada do esforço cortante, para baixo:

↑ + ∑ F y = 0

- V + ( 50,5   k N ) = 0

V = 50,5   k N

E para achar o momento fletor, tá vendo aquele ponto que nomeamos de 1 na nossa figura. Pois bem! Vamos fazer o somatório dos momentos em relação a ele:

⤹ + ∑ M 1 = 0

- 50,5 x + M 1 = 0

M 1 = 50,5 x

Pronto! Finalizamos o trecho A C , que vai de 0 até 0,6   m , no limiar da extremidade esquerda de C .

Passo 3

Agora, bora partir pro trecho C D , com a nossa análise agora, indo de 0,6   m na extremidade direita de C até 1,5   m . Para isso, bora lá fazer o esboço do nosso problema:

E como ninguém aqui é papagaio, bastar realizar os mesmos procedimentos do P a s s o   2 . Primeiro, o somatório das forças em y :

↑ + ∑ F y = 0

50,5   k N - ( 40   k N ) - V = 0

V = - 10,5   k N

Depois, façamos o somatório dos momentos em relação ao ponto que nomeamos de 2 . Olho lá nas distâncias entre as forças, hein!?

⤹ + ∑ M 2 = 0

- 50,5 x + M 2 + 40 ( x - 0,6 ) = 0

M 2 = 10,5 x + 24

Esses são os valores para o trecho C D .

Passo 4

Adiante, vamos fazer a análise do trecho D E , que vai de 1,5   m até 3,0   m . Para isso, já estamos carecas de saber que devemos fazer o diagrama de corpo livre:

E novamento realizamos os mesmos procedimentos do P a s s o   2 . Primeiro, o somatório das forças em y :

↑ + ∑ F y = 0

50,5   k N - 40   k N - 32   k N - V = 0

V = - 21,5   k N

Depois, façamos o somatório dos momentos em relação ao ponto que nomeamos de 3 . Olho lá nas distâncias entre as forças, hein!?

⤹ + ∑ M 3 = 0

- 50,5 x + M 3 + 40 x - 0,6 + 32 ( x - 1,5 ) = 0

M 3 = - 21,5 x + 72

Esses são os valores para o trecho D E .

Passo 5

Tá quase acabando! Só falta fazer a análise do trecho E B , que vai de 3,0   m até 3,2   m . E de novo, lá vamos nós fazer o diagrama de corpo livre:

E novamento realizamos os mesmos procedimentos do P a s s o   2 . Primeiro, o somatório das forças em y :

↑ + ∑ F y = 0

50,5   k N - 40   k N - 32   k N - ( 16   k N ) - V = 0

V = - 37,5   k N

Depois, façamos o somatório dos momentos em relação ao ponto que nomeamos de 4 . Olho lá nas distâncias entre as forças, hein!?

⤹ + ∑ M 4 = 0

- 50,5 x + M 4 + 40 x - 0,6 + 32 x - 1,5 + 16 ( x - 3,0 ) = 0

M 4 = - 37,5 x + 120

Esses são os valores para o trecho E B . Pronto! Terminamos nossa análise.

Passo 6

a) Com as seguintes expressões de esforço cortante e momento fletor, bora pro que interessa. Vamos calcular alguns pontos de interesse para construir o nosso gráfico:

Trecho A C 0 < x ≤ 0,6   m :

Onde:

V = 50,5   k N M 1 = 50,5 x

P a r a   x = 0 → V = 50,5   k N

P a r a   x = 0 → M = 0

P a r a   x = 0,6   m → V = 50,5   k N

P a r a   x = 0,6   m → M = 30,3   k N ⋅ m

Trecho C D ( 0,6   m < x ≤ 1,5   m ) :

Onde:

V = - 10,5   k N

M 2 = 10,5 x + 24

P a r a   x = 0,6   m → V = - 10,5   k N

P a r a   x = 0,6   m → M = 30,3   k N ⋅ m

P a r a   x = 1,5   m → V = - 10,5   k N

P a r a   x = 1,5   m → M = 39,75   k N ⋅ m

Trecho D E ( 1,5   m < x ≤ 3,0   m ) :

Onde:

V = - 21,5   k N

M 3 = - 21,5 x + 72

P a r a   x = 1,5   m → V = - 21,5   k N

P a r a   x = 1,5   m → M = 39,75   k N ⋅ m

P a r a   x = 3,0   m → V = - 21,5   k N

P a r a   x = 3,0   m → M = 7,5   k N ⋅ m

Trecho E B ( 3,0   m < x ≤ 3,2   m ) :

Onde:

V = - 37,5   k N

M 4 = - 37,5 x + 120

P a r a   x = 3,0   m → V = - 37,5   k N

P a r a   x = 3,0   m → M = 7,5   k N ⋅ m

P a r a   x = 3,2   m → V = - 37,5   k N

P a r a   x = 3,2   m → M = 0   k N ⋅ m

E obtido esses valores, tracemos nosso gráfico:

Passo 7

b) Finalmente, como a questão nos pede para determinar os valores absolutos máximos do esforço cortante e do momento fletor, o que temos que fazer nesse caso, é simplesmente usar a visão e ver qual o maior valor em módulo podemos extrair dos gráficos.

Trata-se portanto, de uma coisa simples e ao observar as figuras do P a s s o   6 , notamos que nossas respostas são dadas por:

V m á x = 50,5   k N

M m á x = 39,75   k N ⋅ m

Resposta

a)

b)

V m á x = 50,5   k N

M m á x = 39,75   k N ⋅ m

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