Enunciado

38. Quando um corpo é projetado para uma alta altitude acima da superfície da terra, a variação da aceleração da gravidade com respeito à altitude y deve ser levada em consideração. Desprezando a resistência do ar, essa aceleração é determinada a partir da fórmula a = - g 0 [ R 2 / R + y 2 ] , onde g 0 é a aceleração gravitacional constante ao nível do mar, R é o raio da terra, e a direção positiva é medida para cima. Se g 0 = 9,81   m / s 2 e R = 6356   K m , determine a velocidade mínima ( velocidade de escape) na qual um projétil deve ser lançado verticalmente a partir da superfície terrestre para que ele não caia de volta na terra. Dica: Isso requer que v = 0   quando y → ∞ .

Passo 1

Conhecemos a seguinte relação:

v d v = a d s

Neste caso

v d v = a d y

∫ v 0 v d v = ∫ 0 ∞ - g 0 R 2 R + y 2 d y

v 2 2 v 0 = g 0 R 2 R + y 0 ∞

0 - v 2 2 = ( 0 - g 0 R )

v = 2 g 0 R

v = 2 9,81 6356 x 10 3

v = 11167 m s = 11,2   K m / s

Resposta

v = 11167 m s = 11,2   K m / s

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