Enunciado

As quatro barras mostradas tem a seção transversal de mesma área. Para os carregamentos dados, mostrar que para estas barras: (a) as máximas tensões de compressão obedecem à proporção 4:5:7:9; (b) as máximas tensão de tração obedecem à proporção 2:3:5:3. (Nota: A seção transversal da barra triangular é um tirângulo equilátero.)

Passo 1

Para analizarmos a tensão de compreção, vamos análizar o ponto que vamos chamar de A, que será exatamente onde a força é aplicada. Para analizarmos a tensão de tração analizamos a outra extremidade, que vou chamar de ponto B.

Analisando então o ponto A teremos para a força total

σ A = - P A - P e c A I = - P A 1 + A e c A I

Para o ponto B

σ B = - P A + P e c B I = P A A e c B I - 1

Passo 2

Analisando então primeiro o perfil quadrado. A área será dada por

A 1 = a 2

Momento de inércia

I 1 = a 4 12

Distancia do centro:

c 1 = c B = 1 2 a

E por ultimo e

e = 1 2 a

Calculando então a relação para a tensão de compreção (ponto A)

σ A = - P A 1 + a 2 1 2 a 1 2 a 1 12 a 2 = - 4 P A

Para a tração (ponto B)

σ B = P A - 1 + a 2 1 2 a 1 2 a 1 12 a 2 = 2 P A

Passo 3

Fazendo a mesma análiza para a seção circular

A 2 = π c 2 = a 2 = A 1

Observa que igualei a a 2 por conta do enunciado nos afirmar que todas essas áreas são iguais.

Momento de inércia

I 2 = π 4 c 4

Distancia do centro:

c 2 = a π

Calculando então a relação para a tensão de compreção (ponto A)

σ A = - P A 1 + π c 2 c c 1 4 c 4 = - 5 P A

Para a tração (ponto B)

σ B = P A - 1 + π c 2 c c 1 4 c 4 = 3 P A

Passo 4

Fazendo a mesma análiza para a seção com forma de losango

A 3 = A 1 = a 2

Momento de inércia

I 1 = 1 12 a 4

Distancia do centro:

c 3 = 2 2 a

E por ultimo e

e = c 3

Calculando então a relação para a tensão de compreção (ponto A)

σ A = - P A 1 + a 2 2 2 a 2 2 a 1 12 a 2 = - 7 P A

Para a tração (ponto B)

σ B = P A - 1 + a 2 2 2 a 2 2 a 1 12 a 2 = 5 P A

Passo 5

E por ultimo para a seção triangular.

A 4 = 1 2 s 3 2 s = 3 4 s 2

Momento de inércia

I 4 = 1 36 s 3 2 s 3 = 3 96 s 4

Distancia do centro (observe que teremos uma para o ponto A diferente do ponto B):

c 4 A = 2 3 3 2 s = s 3 = e  

c 4 B = s 2 3

Calculando então a relação para a tensão de compreção (ponto A)

σ A = - P A 1 + 3 4 s 2 s 3 s 3 3 96 s 4 = - 9 P A

Para a tração (ponto B)

σ B = P A - 1 + 3 4 s 2 s 3 s 2 3 3 96 s 4 = 3 P A

Resposta

a ) )   p r o p o r ç ã o   m á x i m a s   t e n s õ e s   d e   c o m p r e s s ã o → 4 : 5 : 7 : 9  

b     p r o p o r ç ã o   m á x i m a s   t e n s ã o   d e   t r a ç ã o → 2 : 3 : 5 : 3 .

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