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49- U m pequeno elevador industrial, acionado a pedal, está mostrado na figura. Existem quatro molas idênticas, duas de cada lado do eixo central. A rigidez de cada par de molas vale 2 k . Ao projetar o elevador, especifique o valor de k , que assegurará equilíbrio estável quando o elevador suporta uma carga (peso) L na posição para a qual θ = 0 , sem qualquer força P sobre o pedal. Pode-se considerar que as molas atuam sempre na direção horizontal e, inicialmente, estão pré-comprimidas.

Passo 1

Como não temos a força P agindo no sistema então não temos trabalho causado por essa força, além de considerarmos que as molas estão comprimidas inicialmente de um valor Δ .

Agora fazendo o desenho do sistema de forças nós temos:

Como não é falado de nenhuma massa nas barras de comprimento l então considera-se que as barras suportam a carga de L e seu centro de carga será calculado da mesma forma que foi feita na questão 45 , logo a energia potencial desse sistema será de:

V g = 2 L l c o s   θ

E para a energia elástica potencial elástica temos:

V e = 1 2 2 k Δ - l s i n   θ 2 + 1 2 2 k Δ + l s i n   θ 2

Onde Δ x é calculado fazendo o seno de θ , e como uma mola estica em uma proporção a outra mola contrai-se com a mesma intensidade.

V e = k [ Δ 2 - 2 Δ l s i n   θ + l 2 sin 2 ⁡ θ + Δ 2 + 2 Δ l s i n   θ + l 2 sin 2 ⁡ θ ]  

V e = 2 k [ Δ 2 + l 2 sin 2 ⁡ θ ]  

O que nos dá uma energia total igual a:

V = 2 k [ Δ 2 + l 2 sin 2 ⁡ θ ] + 2 L l c o s   θ

Passo 2

Derivando a energia em relação a θ nós teremos:

d V d θ = 2 k l 2 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ - 2 L l s i n   θ

Como 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ = sin ⁡ 2 θ   nós podemos escrever essa equação da seguinte forma:

d V d θ = 2 k l 2 sin ⁡ 2 θ - 2 L l s i n   θ

O que nos mostra que se fizermos d V 0 d θ será uma posição de equilíbrio.

Agora derivando de novo essa equação nós teremos:

d 2 V d θ 2 = 4 k l 2 cos ⁡ 2 θ - 2 L l c o s   θ

Passo 3

Para o sistema ser estável em θ = 0 nós fazemos:

d 2 V 0 d θ 2 = 4 k l 2 - 2 L l > 0

4 k l 2 > 2 L l

Isolando k nós encontraremos o valor da constante elástica que nos deixará com o sistema estável:

k > L 2 l

Resposta

k > L 2 l

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