Enunciado

51. Determine o momento produzido pela força F em relação à diagonal AF do bloco retangular. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.

Passo 1

Para fornecer o resultado como o enunciado pede precisamos calcular o momento da força F usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde:

u a x ,   u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

O vetor r → mencionado acima pode ser visto na figura abaixo.

Para saber as coordenadas desse vetor, basta olhar a figura e ver quanto você tem que andar para cada direção para chegar ao ponto na linha de ação da força, logo:

r → = { 0 i + 3 j + 0 k }

O vetor unitário que tem a mesma direção que o eixo de rotação que é o eixo AF, é dado por:

u → = r A → r A →

Onde r A → é o vetor que sai do ponto A até o ponto F. Assim:

r A → = { 3 i + 3 j - 1,5 k }

r A → = 3 2 + 3 2 + - 1,5 2

= 9 + 9 + 2,25

20,25 = 4 , 5

Logo:

u → = { 3 i + 3 j - 1,5 k } 4 , 5

= { 0 , 7 i + 0 , 7 j - 0,3 k }

Passo 2

Agora que já temos tudo que precisamos, vamos calcular o momento em relação ao eixo pedido.

M 0 = u → ⋅ ( r → × F → ) = u x u y u z r x r y r z F x F y F z

= 0 , 7 0 , 7 - 0,3 0 3 0 - 6 3 1 0

= 0 , 7 3 ⋅ 1 0 - 0 ⋅ 3 - 0 , 7 0 ⋅ 1 0 - 0 ⋅ - 6 - 0 , 3 0 ⋅ 3 - 3 ⋅ ( - 6 )

= 0 , 7 3 0 - 0 - 0 , 7 0 - 0 - 0,3 ( 0 + 18 )

= 0 , 7 30 - 0 , 7 0 - 0 , 3 ( 18 )

= 21 - 5,4 = 15,6   N ⋅ m

Mas isso que encontramos é a intensidade do momento, para achar ele em forma cartesiana, basta multiplicá-lo pelo vetor unitário, já que eles têm a mesma direção e sentido, assim:

M 0 → = M 0 u → = 15,6 ( 0 , 7 i + 0 , 7 j - 0 , 3 k )

= ( 10,9 i + 10,9 j - 4,7 k )

Resposta

O momento da força F é dado por:

M 0 → = ( 10,9 i + 10,9 j - 4,7 k )

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