Enunciado

55. Uma armação A C D é articulado em A e B e sustentada pelo cabo que passa através de um anel em B e fixada por ganchos em G e H . Sabendo que a tensão no cabo é de 450   N , determine o momento sobre a diagonal A D exercida pela força na armação pela porção B H do cabo.

Passo 1

Bom! Antes de mais nada, vamos definir a expressão de momento em relação a A D como sendo:

∑ M → A D = λ A D ⋅ ( r → B / A × T → B H ) = M A D

Esse λ A D , é porque nós queremos posicionar nosso sistema de referência em relação a diagonal A D . Para fazer isso basta escrever λ A D em termos do cosseno e do seno do ângulo C A ^ B , daquele triangulozinho C A D que vemos na figura. Como o triângulo está no plano x z e claramente podemos ver que:

sin ⁡ θ = 0,75 1,25 = 0,6

cos ⁡ θ = 1 1,25 = 0,8

Então, tiramos que:

λ A D = 0,8 i ^ - 0,6 k ^

O termo que acompanha o eixo z está negativo, porque caminhamos no sentido contrário do eixo, de A para D . Só para quem tiver alguma dúvida!!

Em seguida, a segunda coisa que temos que fazer é determinar a distância A B → em termos dos vetores unitários i ^ , j ^   e k ^ ; afinal esse segmento é o vetor posição r → B / A . Para isso, basta observar a figura do enunciado. Veremos que o ponto A está nas coordenadas ( 0 ; 0 ; 0 ) em metros e o ponto   B , encontra-se nas coordenadas ( 0,5 ; 0 ; 0 ) . Com isso, para achar A B → basta fazer a diferença entre as coordenadas de B e as coordenadas de A :

  A B → = 0,5 - 0 i ^ + 0 - 0 j ^ + ( 0 - 0 ) k ^

A B → = 0,5 i ^ + 0 j ^ + 0 k ^   m

Passo 2

Achada o nosso vetor A B → , vamos olhar a figura novamente. Vamos tratar de decompor a força de tensão presente no cabo B H :

Para fazer isso, determinemos a distância B H → em termos dos vetores unitários i ^ , j ^   e k ^ . Só nos resta então, observar a figura do enunciado. Veremos que o ponto B está nas coordenadas ( 0,5 ; 0 ; 0 ) em metros e o ponto   H , encontra-se nas coordenadas ( 0,875 ; 0,75 ; - 0,75 ) . Com isso, para achar B H → , basta fazer a diferença entre as coordenadas de H e as coordenadas de   B :

B H → = 0,875 - 0,5 i ^ + 0,75 - 0 j ^ + ( - 0,75 - 0 ) k ^

B H → = 0,375 i ^ + 0,75 j ^ - 0,75 k ^   m

E precisamos também do valor de B H , em módulo, né?

B H = ( 0,375 ) 2 + ( 0,75 ) 2 + ( - 0,75 ) 2     m

B H = 1,125   m

Desse jeito, a nossa tração T → B H vai ser dada por:

T → B H = T B H ⋅ B H → B H

T → B H = 450 ⋅ 0,375 i ^ + 0,75 j ^ - 0,75 k ^ 1,125   N

T → B H = ( 150   N ) i ^ + ( 300   N ) j ^ - ( 300   N ) k ^

Passo 3

Por fim, apliquemos a definição de momento:

∑ M → A D = λ A D ⋅ ( r → B / A × T → B H ) = M A D

Onde temos que:

r → B / A = A B → = 0,5 i ^ + 0 j ^ + 0 k ^   m

T → B H = ( 150   N ) i ^ + ( 300   N ) j ^ - ( 300   N ) k ^

λ A D = 0,8 i ^ - 0,6 k ^

Vamos então, fazer o produto vetorial usando o determinante matricial:

M A D = λ A D ⋅ ( r → B / A × T → B H )

M AD = det ⁡ λ A D , x λ A D , y λ A D , z x B y B z B T x T y T z

M AD = det ⁡ 0,8 0 - 0,6 0,5 0 0 150 300 - 300

M AD = ⁡ 0,8 0 - 0,6 0,5 0 0 150 300 - 300       0,8 0 0,5 0 150 300      

M A D = - 90,0   N ⋅ m

Esse é o nosso momento M A D resultante!!

Resposta

M A D = - 90,0   N ⋅ m

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