Enunciado

5.52. Calculate the y-coordinate of the centroid of the shaded area.

Passo 1

Vamos achar outro centroide, mas agora é só para o eixo y .

Beleza, vamos fragmentar o problema em três figuras mais fáceis de resolver.

Na imagem a gente já pode ver uma separação clara, temos um retângulo menos a fração de um círculo. Olha só, essa parte de círculo tem 120 ° , e um círculo completo tem 360 ° , então na imagem temo um terço de um círculo.

Passo 2

Vamos começar com o retângulo. Sua área é:

A Q = 15 + 15 ⋅ 17 + 3 = 600   i n 2

Agora vamos determinar o centroide desse retângulo

x - Q = 15 + 15 2 = 15   i n

y - Q = 17 + 3 2 = 1 0   i n

Passo 3

Agora temos que calcular a fração de círculo. Vamos começar com a área:

A C = 1 3 π r 2 = 1 3 π 13 2 = 169 3 π

Vamos mudar o eixo de coordenadas para ficar mais fácil calcular o centroide dessa parte de círculo.

O ' vai estar nas coordenadas 15 ; 3 , mas ele é simétrico no eixo x , então vamos nos concentrar só no eixo y .

Para calcular o centroide em y vamos usar a equação

y - C ' = 2 3 r sin ⁡ θ θ

Então

y - C ' = 2 3 13 sin ⁡ π 3 π 3 = 13 3 π

Colocando nos eixos originais

y - C = y - C ' + O '

y - C = 13 3 π + 3

Passo 4

Só falta calcular o centroide da figura toda agora.

y - = ∑ A y - ∑ A

Isso fica

y - = A Q y - Q - A C y - C A Q - A C

Substituindo esses valores

y - = 600 ⋅ 10 - 169 π 3 ⋅ 3 + 13 3 2 π 600 - 169 π 3 = 9,93   i n

Resposta

y - = 9,93   i n

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