Enunciado

60- A viga uniforme tem peso W , comprimento l e é apoiada por um pino em A e um cabo em B C . Determine os componentes horizontal e vertical da reação em A e a tensão necessária no cabo para manter a viga na posição mostrada na figura.

Passo 1

O sistema de forças na viga pode ser representado da seguinte forma.

Para encontrar a força T B C em função do peso vamos calcular os momentos em A , para isso vamos precisar da viga equivalente abaixo.

E como ao pino em A não oferece resistência ao torque então a somatória dos momentos será zero. E a força inclinada T B C gera momento na distância vertical e na distância horizontal.

Considerando o sentido horário como positivo então:

T B C cos ⁡ ϕ × l sin ⁡ θ + W l 2 cos ⁡ θ - T B C sin ⁡ ϕ × l c o s   θ = 0

T B C l cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ - sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ = - W l 2 cos ⁡ θ

Dessa forma temos:

T B C = - W c o s   θ 2 ( cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ - sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ )  

Porém sin ⁡ a - b = sin ⁡ a cos ⁡ b - cos ⁡ a sin ⁡ b logo:

T B C = - W c o s   θ 2 sin ⁡ θ - ϕ = W cos ⁡ θ 2 sin ⁡ ( ϕ - θ )

Passo 2

Agora para encontrar as reações no apoio A temos que fazer a somatória nos eixos:

Fazendo a somatória em x temos:

R A x = T B C cos ⁡ ϕ = W c o s   θ cos ⁡ ϕ 2 s i n ⁡ ( ϕ - θ )

E a somatória das forças em y será:

R A y - W + T B C sin ⁡ ϕ = 0

R A y = W - T B C sin ⁡ ϕ

Substituindo T B C :

R A y = W - W cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ 2 sin ⁡ ϕ - θ = 2 W s i n   ϕ - θ - W c o s θ sin ⁡ ϕ 2 sin ⁡ ( ϕ - θ )

Resposta

R A x = W c o s   θ cos ⁡ ϕ 2 sin ⁡ ϕ - θ

R A y = W [ 2 sin ⁡ ϕ - θ - cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ ]   2 sin ⁡ ( ϕ - θ )

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