Enunciado

96- Os dois cabos de amarração exercem forças na popa de um navio, como mostrado na figura. Represente cada força como um vetor cartesiano e determine a intensidade e a direção da resultante.

Passo 1

A figura ficou um pouco poluída mas conseguimos encontrar as posições de cada ponto em relação a origem no ponto C .

C = 0,0 , 0 [ p é s ]

A = 50,10 , - 30 [ p é s ]

B = 50,10 + 40 , - 30 = 50,50 - 30 [ p é s ]

As coordenadas y são vistas utilizando o plano x y então veja elas de cima.

Passo 2

Agora temos que calcular a equação do vetor C A e C B , começando de C A .

r C A = A - C = 50 i + 10 j - 30 k   [ p é s ]

r C B = B - C = 50 i + 50 j - 30 k   [ p é s ]

E seus comprimentos valem:

r C A = 50 2 + 10 2 + - 30 2 = 59.16   p é s

r C B = 50 2 + 50 2 + - 30 2 = 76.81   p é s

Passo 3

Por conta disso vamos calcular os vetores unitários dos dois vetores de posição:

u C A = 50 59 . 16 i + 10 59 . 16 j - 30 59 . 16 k = 0.845 i + 0 . 169 - 0.507 k

u C B = 50 76.81 i + 5 0 76.81 j - 30 76.81 k = 0.65 i + 0.65 j - 0.391 k

Passo 4

Como a intensidade da força que corre o cabo C A vale 200   l b então temos o vetor de força ao multiplicar a intensidade pelo vetor unitário desse cabo:

F A = 200 0.845 i + 0.169 j - 0.507 k = 169 i + 33.8 j - 101.4 k   [ l b ]

Com o mesmo raciocínio temos F B :

F b = 150 0.65 i + 0.65 j - 0.391 k = 97 . 5 i + 97 . 5 j - 58.65 k   [ l b ]

Passo 5

Se somarmos as duas forças teremos a força resultante:

F r = F a + F b

F r = 169 + 97.5 i + 33.8 + 97.5 j + - 101.4 - 58.6 k [ l b ]

F r = 266.5 i + 131.3 j - 160 k

Esse vetor resultante terá uma intensidade igual a:

F r = 266.5 2 + 131.3 2 + - 160 2 = 337.43   l b

Passo 6

Utilizando o vetor da força resultante e intensidade teremos os ângulos diretores do vetor:

α = cos - 1 ⁡ 266.5 337.43 = 37.8 °

β = cos - 1 ⁡ 131.3 337.43 = 67.1 °

γ = cos - 1 ⁡ - 160 337.43 = 118.3 °

Resposta

F a = 169 i + 33.8 j - 101.4 k   [ l b ]

F b = 97.5 i + 97.5 j - 58.65 k   [ l b ]

F r = 337.43   l b

α = 37.8 ° ;     β = 67.1 ° ;     γ = 118.3 °

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