Enunciado

65. A placa composta é feita de segmentos de aço A e bronze B . Determine a massa e a localização x - , y - , z - de seu centro de massa G. Considere ρ a ç o = 7,85   M g / m 3 e ρ b r = 8,74   M g / m 3 .

Passo 1

Antes de tudo vamos definir algumas coisas para começarmos.

  1. Nosso W aqui será o peso ( m g ) e como g é constante então W = m .  
  2. Sabemos que m = ρ V então assim iremos achar a massa.

  3. Já a localização do centro de massa G será dado pelas fórmulas conhecidas
  4. x - = ∑ x   ~ W ∑ W                 y - = ∑ y   ~ W ∑ W                   z - = ∑ z   ~ W ∑ W

    Contudo podemos ver na figura que por simetria o y   ~ é fácil de determinarmos ele vai estar no meio da largura da placa que é - 0,015   m

  5. Vamos refazer a imagem fazendo a separação em três segmentos fáceis que ajudarão a nossa resolução.

Tendo essas três coisas em mente, vamos pegar a nossa tabela que sempre facilita tudo e vamos começar.

Passo 2

Segmento 1:

O nosso segmento 1 é a parte de bronze e podemos ver facilmente que ela está na forma de um triângulo e isso facilita, pois o volume do triângulo e tabelado.

Lembrando de converter todos as unidades em milímetros para metros, pois o exercício pede a massa em quilograma.

V = A b a s e ⋅ h = 0,15 ⋅ 0,03 2 ⋅ 0,225 = 5,06 ⋅ 10 - 4   m 3

Então para achar a massa temos que:

m = ρ V = 8,74 ⋅ 5,06 ⋅ 10 - 4 = 4,42 ⋅ 10 - 3

Agora precisamos das coordenadas x   ~ e z   ~   do nosso segmento 1.

x   ~ = 0,150 + 2 3 0,150

z   ~ = 1 3 ( 0,225 )

Esses resultados são fáceis de encontrar no apêndice C seção C 4 .

Preenchendo na nossa tabela teremos:

Passo 3

Segmento 2:

O nosso segmento 2 é a parte de aço mais próximo do bronze e depois de simplificarmos a imagem deu para notar facilmente que ela está na forma de um triângulo e isso facilita, pois o volume do triângulo e tabelado.

Lembrando de converter todos as unidades em milímetros para metros, pois o exercício pede a massa em quilograma.

V = A b a s e ⋅ h = 0,15 ⋅ 0,03 2 ⋅ 0,225 = 5,06 ⋅ 10 - 4   m 3

Então para achar a massa temos que:

m = ρ V = 7,85 ⋅ 5,06 ⋅ 10 - 4 = 3,97 ⋅ 10 - 3

Agora precisamos das coordenadas x   ~ e z   ~ do nosso segmento 2.

x   ~ = 0,150 + 1 3 0,150

z   ~ = 2 3 ( 0,225 )

Preenchendo na nossa tabela teremos:

Passo 4

Segmento 3:

O nosso segmento 3 é um retângulo bonito e isso facilita, pois o volume do retângulo é tabelado e difícil de esquecer.

Lembrando de converter todos as unidades em milímetros para metros, pois o exercício pede a massa em quilograma.

V = a ⋅ b ⋅ c

Onde a é comprimento, b é a largura e c é a altura, ou seja:

V = 0,15 ⋅ 0,03 ⋅ 0,225 = 1,0 ⋅ 10 - 3

Então para achar a massa temos que:

m = ρ V = 7,85 ⋅ 1,0 ⋅ 10 - 3 = 7,94 ⋅ 10 - 3

Agora precisamos das coordenadas x   ~ e z   ~ que são as coordenadas da parte do composta do corpo, ou seja, o x   ~ e z   ~   do nosso segmento 3.

Como é um retângulo bonitinho, para achar o centroide é só dividir por 2 tanto no comprimento x   ~ quando na altura z   ~ .

x   ~ = 0,15 2 = 0,075

z   ~ = 0,225 2 = 0,112

Preenchendo na nossa tabela teremos:

Agora é só resolver os somatórios que teremos tudo o que precisamos.

Passo 5

Massa:

∑ m = 16,33 ⋅ 10 - 3

Coordenadas:

x - = ∑ x   ~ m ∑ m = 2,4945 ⋅ 10 - 3 16,33 ⋅ 10 - 3 = 0,153   m

z - = ∑ z   ~ m ∑ m = 1,81628 ⋅ 10 - 3 16,33 ⋅ 10 - 3 = 0,111   m

Resposta

x - = 0,153   m

y - = - 0,015   m

z - = 0,111   m

∑ m = 16,33 ⋅ 10 - 3   k g

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