Enunciado

70- Para a viga e o carregamento mostrados nas figuras, ( a ) trace os diagramas de esforço cortante e de momento fletor, ( b ) determine os valores absolutos máximos do esforço cortante e do momento fletor.

Passo 1

Antes de fazer os diagramas vamos calcular as reações em A e D .

Sabendo que o carregamento de 2400   N / m gerará uma carga total de:

F r = 2400 × 0.3 = 720   N

A uma distância de 0.15   m do apoio em D .

Isso nos dá um diagrama de forças equivalente igual a:

Pela somatória das forças horizontais (e igualando a zero) temos que:

A x = 0

Pela somatória das forças verticais temos:

A y + D y = 500 + 500 + 720 = 1720

E pela somatória dos momentos em A :

500 × 0.4 + 500 × 0.8 + 720 × 1.35 - 1.2 D y = 0

D y = 1310   N

Logo:

A y = 1720 - 1310 = 410   N

Passo 2

Vamos começar fazendo o diagrama da cortante analisando o intervalo de 0 < x < 0.4  

Pela soma das forças verticais temos:

A y - V = 0 → V = A y = 410   N

Agora para 0.4 < x < 0.8 :

Fazendo a somatória das forças verticais:

A y - 500 - V = 0

V = 410 - 500 = - 90   N

Agora para 0.8 < x < 1.2 :

Pela somatória das forças verticais:

A y - 500 - 500 - V = 0

V = 410 - 500 - 500 = - 590   N

Agora para 1.2 < x < 1.5 :

Pela somatória das forças verticais temos:

A y - 1000 + D y - V - ∫ x 1 x 2 2400   d x = 0

V = 410 - 1000 + 1310 - 2400 ( x 2 - x 1 )

V = 720 - 2400 ( x 2 - x 1 )

Onde x 1 = 1.2 e x 2 = x nos dando:

V = 720 - 2400 ( x - 1.2 )

Onde se x = 1.5 ; V = 0

Nos dando então o seguinte diagrama de cortante.

O máximo valor absoluto de cortante vale 720   N .

Passo 3

Agora vamos para o diagrama de momento fletor.

Para 0 < x < 0.4 :

Fazendo a somatória dos momentos nessa barra temos:

M - ∫ x 1 x 2 A y d x = 0

M = 410 ( x 2 - x 1 )

Onde para x 1 = 0 ; e   x 2 = x temos:

M = 410 x

Para x = 0.4 temos

M = 410 × 0.4 = 164   N m

Agora para 0.4 < x < 0.8 temos:

Fazendo a somatória dos momentos temos:

- ∫ x 2 x 2 A y   d x + ∫ x 3 x 2 500 d x + M = 0

M = A y x 2 - x 1 - 500 ( x 2 - x 3 )

Onde x 1 = 0 ; x 2 = x ; x 3 = 0.4 . O que nos dá:

M = 410 x - 500 ( x - 0.4 )

E para x = 0.8 nós temos:

M = 410 × 0.8 - 500 × 0.4 = 128   N m

Para facilitarmos nossa vida no trecho de 0.8 < x < 1.2 vamos transferir para o começo dessa seção o momento resultante e a força resultante vinda das duas seções anteriores.

Pela somatória dos momentos temos:

M = 128 - ∫ x 1 x 2 590 x

Onde x 1 = 0.8 e x 2 = x , logo:

M = 128 - 590 ( x - 0.8 )

Dessa forma para x = 1.2 temos:

M = 128 - 590 1.2 - 0.8 = - 108   N m

Com esse mesmo raciocínio podemos fazer para 1.2 < x < 1.5 :

Fazendo a somatória dos momentos temos:

M + 108 - ∫ x 1 x 2 1310 - 590   d x + ∫ x x 2400   x   d x = 0

M = - 108 + 720 x - 1200 x 2 - x 1 2

Onde x 1 = 1.2 e x 2 = x o que nos dá:

M = - 10 8 + 720 x - 1.2 - 1200 x - 1.2 2

Com x = 1.5 temos M = 0 , o que faz sentido pois acabou a viga.

O maior valor absoluto de momento que encontramos é 164   N m , isso pode fazendo a derivada dessa última equação e igualando a zero e por só termos retas antes disso (cujo valores extremos estarão nas extremidades apenas) nos dando o seguinte diagrama de momentos:

O maior momento absoluto vale:

M a b s = 164   N m

Resposta

a )   D i a g r a m a s   d o   p a s s o   2   e   3

b )   | V | m a x = 720   N ; | M | m a x = 164   N m

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Se a reação é uniformemente distribuída no solo, determine (a) os diagramas de cortante e momento fletor e (b) os valores máximos absolutos de momento e cortante.
Se a reação é uniformemente distribuída no solo, determine (a) os diagramas de cortante e momento fletor e (b) os valores máximos absolutos de momento e cortante.
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