Enunciado

82. O membro A B é sustentado em B por um cabo e em A por uma barra retangular fixa e lisa e encaixada frouxamente no furo retangular do colar. Se F → = 2 i - 4 j - 7,5 k   k N , determine as componentes x ,   y ,   z da reação em A e a tração no cabo.

Passo 1

Primeiro temos que avaliar que tipos de conexões temos nessa situação, nesse caso é um cabo e uma barra fixa que pode ser considerada como um apoio fixo, segundo a tabela 5.2 do capítulo 5 , seção 5.5 , esse tipo de conexão por cabo só exerce uma força ou tração na direção do cabo, e a barra exerce força nas três direções dos eixos coordenados, mas como ela está levemente frouxa podemos desconsiderar a força na direção z , e momento também nas três direções dos eixos.

Abaixo temos um diagrama de corpo livre que vai nos ajudar a ver o que está acontecendo.

Agora só temos que aplicar as equações de equilíbrio para achar as forças que queremos.

O macete é sempre começar com as equações que te oferecem menos incógnitas.

Para determinar a força de tração nessa situação, será melhor expressá-la na forma vetorial, nessa forma teremos as componentes da força do membro, podendo assim usar as equações de equilíbrio para cada direção com a componente adequada da força.

Para expressar essa força, precisamos achar o vetor unitário que tem mesma direção que a força de tração.

Esse vetor pode ser encontrado da seguinte maneira:

u → = r → r →  

Assim no nosso caso temos que o vetor unitário de B C é:

u → = - 3,6 i + 1,2 j + 1,8 k 17,64

u → = { - 0,857 i + 0,285 j + 0 , 42 8 k }

Agora que temos o vetor unitário, vamos expressar a tração da corda B D :

F B C → = F B C u →

= - 0,857 F B C i + 0,285 F B C j + 0,428 F B C k

Passo 2

Vamos começar analisando a equação de equilíbrio referente a força em relação a z , para assim obtermos F B C .

∑ F z = 0

- 7,5 + 0,428 F B C = 0

⇒ 0,428 F B C = 7,5

⇒ F B C = 17,52   k N

Passo 3

Agora que temos F B C vamos analisar a equação de equilíbrio referente a força em relação a x e y .

∑ F x = 0

A x + 2 - 0,857 F B C = 0

⇒ A x + 2 - 15,014 = 0

⇒ A x = 13,014   k N

∑ F y = 0

A y - 4 + 0,285 F B C = 0

⇒ A y - 4 + 4,993 = 0

⇒ A y = - 0,993   k N

Passo 4

Agora vamos usar as equações de equilíbrio referente ao momento para acharmos os momentos exercidos pela barra.

∑ M x = 0

M A x + 0,428 F B C 1,2 = 0

⇒ M A x + 8,998 = 0

⇒ M A x = - 8,998   k N ⋅ m

∑ M y = 0

M A y - 7,5 3,6 + 0,428 F B C 3,6 = 0

⇒ M A y - 27 + 27 = 0

⇒ M A y = 0

∑ M z = 0

M A z - 4 3,6 + 0,285 F B C 3,6 + 0,857 F B C 1,2 = 0

M A z - 14,4 + 17,97 + 18,017 = 0

M A z = - 21,587   k N ⋅ m

Resposta

A x = 13,014   k N

A y = - 0,993   k N

M A x = - 8,998   k N ⋅ m

M A y = 0

M A z = - 21,587   k N ⋅ m

F B C = 17,52   k N

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