Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática - Capítulo 2.Problemas - Ex. 112

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desse livro

Uma placa triangular é sustentada por três cabos, como mostra a figura. Sabendo que a tração no cabo AD é 520 N, determine o peso da placa.

Passo 1

Antes de começar o exercício, devemos notar que o peso da placa é igual a força que chamaremos de P exercida para cima no ponto A. Então podemos escrever o somatório de forças no ponto A como:

∑ F → A = 0

T → A B + T → A C + T → A D + P j → = 0

Agora precisamos escrever os vetores tensão em termos de suas coordenadas, para isso, precisamos primeiro escrever o vetor que liga esses pontos, então:

A B → = - 320 i → - 480 j → + 360 k →

A C → = 450 i → - 480 j → + 360 k →

A D → = 250 i → - 480 j → - 360 k →

Agora, calculando o módulo desses vetores:

A B = - 320 2 + - 480 2 + 360 2 → A B = 680   m m

A C = 450 2 + - 480 2 + 360 2 → A C = 750   m m

A D = 250 2 + - 480 2 + - 360 2 → A D = 650   m m

Agora podemos escrever os vetores tensão como:

T → A B = T A B . A B → A B = T A B - 8 17 i → - 12 17 j → + 9 17 k →

T → A C = T A C . A C → A C = T A C 15 25 i → - 16 25 j → + 12 25 k →

T → A D = T A D . A D → A D = T A D 5 13 i → - 9,6 13 j → - 7,2 13 k →

Passo 2

Agora substituindo os valores das tensões na equação de equilíbrio de forças do passo 1, temos:

T A B - 8 17 i → - 12 17 j → + 9 17 k → + T A C 15 25 i → - 16 25 j → + 12 25 k → + T A D 5 13 i → - 9,6 13 j → - 7,2 13 k → + P j → = 0

Agora vamos separar as componentes i → ,   j → e k → :

- 8 17 T A B + 15 25 T A C + 5 13 T A D = 0

- 12 17 T A B - 16 25 T A C - 9,6 13 T A D + P = 0

9 17 T A B + 12 25 T A C - 7,2 13 T A D = 0

Agora, substituindo o valor da tensão no cabo AD dado no enunciado:

- 8 17 T A B + 15 25 T A C + 200 = 0

- 12 17 T A B - 16 25 T A C - 384 + P = 0

9 17 T A B + 12 25 T A C - 288 = 0

Passo 3

Agora, isolando T A B da terceira equação:

T A B = - 0,907 T A C + 544

E, susbtituindo esse valor na equação 1:

- 8 17 - 0,907 T A C + 544 + 15 25 T A C + 200 = 0 → T A C = 54,5   N

Substituindo esse valor na equação anterior:

T A B = - 0,907 54,5 + 544 → T A B = 494,5   N

Agora, substituindo esses dois valores na segunda equação do passo 2:

- 12 17 494,5 - 16 25 54,5 - 384 + P = 0 → P = 768 N

Resposta

P = 768   N

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