Enunciado

90. ( a ) Mostre que, quando uma estrutura sustenta uma polia em A , um carregamento equivalente da estrutura e de cada uma de suas partes componentes pode ser obtido removendo-se a polia e aplicando-se em A   duas forças iguais e paralelas às forças que o cabo exerce na polia. ( b ) Mostre que, se uma extremidade do cabo é presa na estrutura no ponto B , uma força de intensidade igual à tração no cabo deve também ser aplicada em B .

Passo 1

Primeiro temos que verificar que para uma polia lisa e sem atrito e imóvel, a tenção em toda corda continua a mesma, valos mostrar isso com a equação de equilíbrio referente à o momento em relação ao centro C de uma polia, abaixo temos uma figura para visualizarmos melhor.

Com siderando que a polia tem raio r , temos:

∑ M C = 0

T 1 r - T 2 r = 0

⇒ T 1 r = T 2 r

⇒ T 1 = T 2

Está verificado então, agora sabemos que as forças na imagem que o enunciado fornece é a mesma tanto de um lado da polia quanto do outro.

Agora para analisar a situação do enunciado, item ( a ) , vamos lembrar de uma coisa que já aprendemos nos capítulos anteriores do livro, que é a substituição de uma força por um sistema de forças ou momentos que tenham o efeito equivalente e é isso que faremos.

Agora para analisar a situação do enunciado, item ( b ) , vamos usar o que acabamos de comprovar acima ao nosso favor.

Passo 2

Se você observar a figura referente ao item ( a ) poderá ver que cada força produz um momento em relação ao centro da polia e ao mesmo tempo atua no centro de massa da polia, que no caso fica no centro da polia puxando o mesmo para a direção de atuação.

Então cada força T pode ser substituída por um momento r T ( r é o raio da polia), o que muda é o sentido de rotação, e por uma força paralela a original, mas que atua no centro de massa. Abaixo temos uma figura que representa essa equivalência.

Passo 3

Agora, se você reparar na figura do passo 2 os momentos produzidos por cada força estão em direções diferentes, logo eles se cancelam então ficamos com:

Está provado o que o enunciado pedia no item ( a ) .

Passo 4

Vamos lembrar que para uma corda com massa desprezível a força de tração age igualmente em todos os pontos da corda e utilizando o que verificamos no passo 1 , então temos o seguinte:

Então temos essa nova situação, se usarmos o que provamos no item ( a ) paras forças na polia, ficamos com:

Está provado o que o enunciado pedia no item ( b ) .

Resposta

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