Enunciado

9.91 O tanque de processamento é usado para armazenar líquidos durante a manufatura. Estime o volume do tanque e a área de sua superfície. O tanque tem um topo plano e uma parede fina.

Passo 1

Falaaa galerinha bonita, tudo tranquilinho?

Saca só, nesse exercício aqui, pra gerarmos essa superfície devemos fazer a revolução de 3 segmentos de reta:

A fórmula para determinar a área superficial é:

A = θ ∑ r - L

Onde θ é o ângulo de revolução em radianos, nesse caso 2 π

r - é a distância perpendicular do eixo de revolução, nesse caso o eixo z , ao centroide da curva de geração.

O macete aqui, é que centroide de um segmento de reta fica sempre no seu centro, então teremos que

r - v e r m e l h o = 3 2 = 1,5   m

r - a m a r e l o = 3     m

r - a z u l = 3 2 = 1,5   m

E L é o comprimento da curva de geração, nós já sabemos o tamanho de:

L v e r m e l h o = 3   mm

L a m a r e l o = 6   mm

Para a reta azul podemos usar pitagoras:

L a z u l 2 = 3 2 + 4 2

L a z u l = 3 2 + 4 2 = 5   m

Passo 2

Iradoso, agora é só a gente multiplicar e aplicar na fórmula, de modo que:

A = 2 π 1,5 3 + 3 6 + 1,5 5

A = 188,5   m 2

Passo 3

E para calcular o volume, vamos separar o sólido em um triângulo e um retângulo, para fazer a revolução deles:

A fórmula para determinar o volume é:

V = θ ∑ r - A

Onde θ é o ângulo de revolução em radianos, nesse caso 2 π

r - é a distância perpendicular do eixo de revolução ao centroide da área de geração. O centroide de um retângulo fica bem no meio dele, então:

r - a m a r e l o = 3 2 = 1,5   m

E o centroide de um triângulo é tabelado, ele vai ficar:

r - v e r m e l h o = h 3

r - v e r m e l h o = 3 3 = 1   m

E A é a área de geração, ou seja a área de cada formato:

A a m a r e l o = b h

A a m a r e l o = 3 6

A a m a r e l o = 18   m 2

Sendo assim:

A v e r m e l h o = b h 2

A v e r m e l h o = 3 4 2

A v e r m e l h o = 6   m 2

Passo 4

Então é só a gente aplicar na formula e obteremos o volume, logo:

V = θ ∑ r - A

V = 2 π 1,5 18 + 1 6

Portanto:

V = 207,3   m 3

Resposta

A = 188,5   m 2

V = 207,3   m 3

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