Enunciado

Determine a área de superfície e o volume do sólido formado girando-se a área sombreada 360 ° em torno do eixo z .

Passo 1

Falaa, querido!

O problema pede que encontremos a área de superfície e o volume do sólido de revolução. Lembre-se do Teorema de Pappus e Guldinus, se precisar de ajuda sobre esse teorema tem ótimas vídeo aulas aqui mesmo no Responde Aí, mas basicamente o teorema diz que:

A área de superfície é dada pelo produto da linha de que gera o sólido (curva de geração), pelo ângulo em radianos (no nosso caso θ = 360 ° = 2 π ) e pela distância perpendicular do eixo de giração até o centroide da curva.

A S = 2 π L r -

O volume do solido é dado pela multiplicação da aréa que gera o sólido pelo ângulo em radianos (no nosso caso θ = 360 ° = 2 π ) e pela distância perpendicular do eixo de giração até o centroide da curva

V = A × 2 π x -

Sendo x - a coordenada do centro de massa em relação ao eixo x . Já que essa é a distância perpendicular do nosso centroide até o eixo de giração z .

Bora!

Passo 2

Repara que nosso sólido é maciço, então temos essa situação:

Para formar o sólido do enunciado, a curva de geração do sólido é essa amarela. E a área de geração (a área que a gente gira e forma o sólido) é essa verde. Vamos trabalhar para achar o volume primeiro.

A a área da figura que será rotacionada:

A 1 = 150 ( 180 )

A 2 = 150 200

A 3 = 300 - 150 200 2

A t o t a l = 150 180 + 150 200 + 300 - 150 200 2

A t o t a l = 72   000   m m 2

Passo 3

Agora, vamos calcular a coordenada x do centro de massa da figura.

Temos uma figura composta. Você pode encontrar o centro de massa dessas figuras no final do livro. O centro de massa total vai ser a média ponderada (em relação a área de cada figura) entre esses centros:

x - = 150 2 150 180 + 150 2 150 200 + 150 + 150 3 300 - 150 200 2 150 180 + 150 200 + 300 - 150 200 2

x - = 1 01,0 416   m m

Passo 4

Então agora usamos de fato o Teorema de Pappus e Guldinus:

V = A × 2 π x -

V = 2 π x - A t o t a l = 2 π 101,04 16 72   000 = 45710142     m m 3

Passo 5

Para área da superfície vamos dar uma mudada na fórmulinha do passo 1. Como a gente tem uma figura composta, nós vamos calcular:

A S = 2 π ∑ L r -

Sendo L o comprimento de uma linha de geração e r - a coordenada x do centroide dessa linha.

Aqui difere do caso do volume porque lá nosso centroide era em relação às áreas e aqui é em relação às retas.

Bora calcular. Para a reta inclinada, o centroide é no meio da sua projeção em x . Para as retas horizontais, o centroide é no meio delas. E para as retas verticais, o centroide é na sua coordenada x . Fica assim:

∑ r - L = 150 2 150 + 300 2 300 + 150 180 + 150 + 300 - 150 2 150 2 + 200 2

Aquela raiz ali é a gente calculando o comprimento da reta inclinada por Pitagoras. Aí achamos

∑ r - L = 139500

A S = 2 π ∑ r - L = 876504   m m 2

Resposta

A = 876504   m m 2

V = 45710142     m m 3

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