Enunciado

Ache o ângulo θ que colocará o centro de massa do anel fino a uma distância r / 10 do centro do arco.

Passo 1

Pela simetria, sabemos que o centro de massa do anel estará no eixo que passa no centro e no meio da abertura de ângulo θ . Vamos então calcular a coordenada z do centro de massa, sendo a origem o centro do anel e o eixo z apontado para baixo. Dividindo o anel em elementos de tamanho infinitesimal d l , a fórmula da coordenada z do CM será:

z - = ∫ z   d l ∫ d l = ∫ z   d l l

Passo 2

Observamos na figura um elemento d l do anel.

Cada elemento d l = r   d α possui uma coordenada z dada por:

z = r cos ⁡ α

E o ângulo α varia de θ 2 a 2 π - θ 2 . Então a nossa integral fica:

∫ z   d l = ∫ θ / 2 2 π - θ / 2   r cos ⁡ α ( r   d α ) = r 2 ∫ θ / 2 2 π - θ / 2   cos ⁡ α d α  

= r 2 sen ⁡ α θ / 2 2 π - θ / 2 = r 2 sen ⁡ 2 π - θ 2 - sen ⁡ θ 2

= r 2 - sen ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 2 = - 2 r 2 sen ⁡ θ 2  

Passo 3

O comprimento l do anel é:

l = ( 2 π - θ ) r

Então finalmente temos a expressão para a coordenada z do CM:

z - = ∫ z   d l l = - 2 r 2 sen ⁡ θ 2 2 π - θ r = - 2 r 2 π - θ sen ⁡ θ 2

Passo 4

Queremos que esse valor seja igual a - r / 10 . Então:

- 2 r 2 π - θ sen ⁡ θ 2 = - r 10

⇒ 10 sen ⁡ θ 2 = π - θ 2

Resolvendo a equação, obtemos o valor:

θ = 33,1 °

Resposta

θ = 33,1 °

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Localize o centroide z - do sólido.
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Localize o centroide z - do frustum sólido homogêneo do paraboloide formada girando-se a área sombreada em torno do eixo z .
Determine a massa e a localização do centro de massa y - do hemisfério formado girando-se a área sombreada em torno do eixo y . A densidade em qualquer ponto no hemisfério pode ser definida por ρ = ρ