Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler - Capítulo 9.Problemas - Ex. 36

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desse livro

Localize o centroide z - do sólido.

Passo 1

Se liga! Temos um sólido de revolução aí. É como se a gente pegasse essa curva que ele dá z = 1 a a - y 2 e a rodasse em torno de z para formar essa área lateral do cone. Por isso, o centro de massa desse cone vai estar sobre o eixo z , pela simetria!

Então a primeira coisa que a gente vai fazer é achar um elemento diferencial para a gente montar a fórmulinha do volume e a fórmulinha do centroide. Uma boa ideia, já que nossa sólido tem essa simetria em torno de z , seria usar um disquinho bem fino de altura d z .

Olha essa vista frontal:

Esses disquinhos são obtidos a partir da base, como se estivéssemos cortando ele de baixo para cima.

Aí a espessura dele fica d z , e pela figura, o raio de cada disco vai ser y . O volume de cada disco fica:

d V = π y 2 d z

Mas a gente precisa colocar isso em função de z , já que estamos usando d z . A gente pode pegar a equação da curva que o enuciado deu e achar y em função de z :

z = 1 a a - y 2

a z = a - y 2 → a z - a = - y

y = a - a z

Aí nosso volume fica:

d V = π a - a z 2 d z

d V = π a 2 + a z - 2 a 3 2 z 1 2 d z

Passo 2

Agora a gente usa a fórmulinha de sempre pra achar o centroide!

z - = ∫ z - d V ∫ d V

Esse z dentro da integral é distância no eixo z   da origem até o centroide do disco. Como o centroide do disco é no centro dele que está em no eixo z , esse valor z dentro da integral vai ser o nosso z mesmo.

E como nossa região está no intervalo em z

0 ≤ z ≤ a

Nossa integral fica

z - = ∫ 0 a z π a 2 + a z - 2 a 3 2 z 1 2 d z ∫ 0 a π a 2 + a z - 2 a 3 2 z 1 2 d z

Desenvolvendo um cadinho:

z - = π ∫ 0 a a 2 z + a z 2 - 2 a 3 2 z 3 2 d z π ∫ 0 a a 2 + a z - 2 a 3 2 z 1 2 d z

Passo 3

Depois que cortar o π , é só integrar!

z - = a 2 z 2 2 + a z 3 3 - 2 2 5 a 3 2 z 5 2 0 a a 2 z + a z 2 2 - 2 2 3 a 3 2 z 3 2 0 a

z - = a 4 2 + a 4 3 - 4 5 a 4 a 3 + a 3 2 - 4 3 a 3

z - = 1 5 a

Resposta

z - = 1 5 a

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