Enunciado

Localize o centroide overset(-)(z) do sólido.

Passo 1

Se liga! Temos um sólido de revolução aí. É como se a gente pegasse essa curva que ele dá z = (1)/(a) (a - y)^2 e a rodasse em torno de z para formar essa área lateral do cone. Por isso, o centro de massa desse cone vai estar sobre o eixo z , pela simetria!

Então a primeira coisa que a gente vai fazer é achar um elemento diferencial para a gente montar a fórmulinha do volume e a fórmulinha do centroide. Uma boa ideia, já que nossa sólido tem essa simetria em torno de z , seria usar um disquinho bem fino de altura d z .

Olha essa vista frontal:

Esses disquinhos são obtidos a partir da base, como se estivéssemos cortando ele de baixo para cima.

Aí a espessura dele fica d z , e pela figura, o raio de cada disco vai ser y . O volume de cada disco fica:

d V = pi y^2 d z

Mas a gente precisa colocar isso em função de z , já que estamos usando d z . A gente pode pegar a equação da curva que o enuciado deu e achar y em função de z :

z = (1)/(a) (a - y)^2

a z = (a - y)^2 -> sqrt(a z) - a = - y

y = a - sqrt(a z)

Aí nosso volume fica:

d V = pi (a - sqrt(a z))^2 d z

d V = pi (a^2 + a z - 2 a^((3)/(2)) z^((1)/(2))) d z

Passo 2

Agora a gente usa a fórmulinha de sempre pra achar o centroide!

overset(-)(z) = (int overset(-)(z) d V)/(int d V)

Esse z dentro da integral é distância no eixo z da origem até o centroide do disco. Como o centroide do disco é no centro dele que está em no eixo z , esse valor z dentro da integral vai ser o nosso z mesmo.

E como nossa região está no intervalo em z

0 <= z <= a

Nossa integral fica

overset(-)(z) = (int_0^a z pi (a^2 + a z - 2 a^((3)/(2)) z^((1)/(2))) d z)/(int_0^a pi (a^2 + a z - 2 a^((3)/(2)) z^((1)/(2))) d z)

Desenvolvendo um cadinho:

overset(-)(z) = (pi int_0^a (a^2 z + a z^2 - 2 a^((3)/(2)) z^((3)/(2))) d z)/(pi int_0^a (a^2 + a z - 2 a^((3)/(2)) z^((1)/(2))) d z)

Passo 3

Depois que cortar o pi , é só integrar!

overset(-)(z) = ([(a^2 z^2)/(2) + (a z^3)/(3) - 2 ((2)/(5)) a^((3)/(2)) z^((5)/(2))]_0^a)/([a^2 z + (a z^2)/(2) - 2 ((2)/(3)) a^((3)/(2)) z^((3)/(2))]_0^a)

overset(-)(z) = ((a^4)/(2) + (a^4)/(3) - (4)/(5) a^4)/(a^3 + (a^3)/(2) - (4)/(3) a^3)

overset(-)(z) = (1)/(5) a

Resposta

overset(-)(z) = (1)/(5) a

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