Enunciado

Um mancal radial para um eixo sob uma carga axial L é projetado como um copo esférico parcial de raio r . Se a pressão entre as superfícies do mancal em qualquer ponto varia de acordo com p = p 0 cos ⁡ θ , deduza a expressão para o torque M requerido para manter uma velocidade de rotação constante. O coeficiente de atrito é μ .

Passo 1

Para resolver esse exercício, precisamos achar a expressão do momento infinitesimal d M feito pelo atrito em cada parte da superfície de contato esférica, e então integrar. O momento total M será o momento necessário para vencer o atrito e fazer o mancal girar. Vamos dividir nossa superfície em círculos horizontais, definidos pelo ângulo θ , que vai de 0 a 60 ° . Cada círculo terá uma área d A dada pela circunferência do círculo vezes o comprimento infinitesimal d l de um arco:

A área d A de cada círculo é:

d A = 2 π r sen ⁡ θ d l = 2 π r sen ⁡ θ   r   d θ = 2 π r 2 sen ⁡ θ d θ

Passo 2

Em cada círculo, atua uma força normal d P , que é a pressão vezes a área.

d P = p   d A = 2 π p r 2 sen ⁡ θ d θ

O atrito d F será a força normal d P vezes o coeficiente de atrito, e o momento em torno do centro feito por cada força d F é d F vezes a distância até o eixo central, que é r sen ⁡ θ :

d F = μ   d P = μ 2 π p r 2 sen ⁡ θ d θ = 2 π μ p r 2 sen ⁡ θ d θ

d M = d F r sen ⁡ θ = 2 π μ p r 2 sen ⁡ θ d θ r sen ⁡ θ = 2 π μ p r 3 sen 2 ⁡ θ d θ

Agora substituímos p = p 0 cos ⁡ θ :

d M = 2 π μ p r 3 sen 2 ⁡ θ d θ = 2 π μ r 3 p 0 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ   d θ = 2 π μ p 0 r 3 sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Para resolvermos a integral, precisamos antes do valor de p 0 , e acharemos esse valor através do cálculo da força vertical total L sobre a superfície.

Passo 3

A força L será igual a todas as componentes verticais das forças normais d P aplicadas na superfície. A componente vertical de cada força d P é d P c o s   θ , então devemos integrar d P c o s   θ :

L = ∫ d P cos ⁡ θ

Já calculamos d P em função de θ :

d P = 2 π p r 2 sen ⁡ θ d θ = 2 π p 0 r 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Então:

L = ∫ d P cos ⁡ θ = ∫ 0 60 ° 2 π p 0 r 2 sen ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ

Calculando a integral, achamos a relação entre p 0 e L :

L = 2 π p 0 r 2 ∫ 0 60 ° cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ d θ = 2 π p 0 r 2 ∫ 0 60 ° cos 2 ⁡ θ ( - d cos ⁡ θ )

= 2 π p 0 r 2 - cos 3 ⁡ θ 3 0 60 ° = 2 3 π p 0 r 2 - cos 3 ⁡ 60 ° + cos 3 ⁡ 0

= 2 3 π p 0 r 2 - 1 2 3 + 1 3 = 2 3 π p 0 r 2 1 - 1 8 = 2 3 7 8 π p 0 r 2 = 7 12 π p 0 r 2

L = 7 12 π p 0 r 2 ⇒ p 0 = 12 L 7 π r 2

Passo 4

Agora vamos substituir p 0 na expressão de d M :

d M = 2 π μ p 0 r 3 sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = 2 π μ r 3 sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ 12 L 7 π r 2 = 24 7 μ L r sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Pronto, agora devemos integrar de 0 a 60 ° :

M = ∫ 0 60 ° 24 7 μ L r sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

= ∫ 0 60 ° 24 7 μ L r sen 2 ⁡ θ ( d sen ⁡ θ ) = 24 7 μ L r sen 3 ⁡ θ 3 0 60 °

= 8 7 μ L r sen 3 ⁡ ( 60 ° - sen 3 ⁡ 0 ) = 8 7 μ L r 3 2 3

= 8 7 μ L r 3 3 8 = 3 3 7 μ L r

Resposta

M = 3 3 7 μ L r

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