Enunciado

O anel circular de raio r está suspenso a partir de uma cavidade (não mostrada) que se encaixa na pequena esfera de fixação em O . Determine a razão R entre o período para pequenas oscilações em torno do eixo B - B e o em torno do eixo A - A . Despreze o pequeno deslocamento, massa e atrito da esfera.

Passo 1

Como só queremos calcular a razão entre os dois períodos, vamos escrever uma equação genérica, que serve para qualquer um dos eixos:

∑ M O = I θ ¨

E a soma dos momentos será alguma coisa constante multiplicada por sen ⁡ θ , com um sinal negativo na frente para indicar que esse momento favorece o retorno à posição de equilíbrio:

∑ M O = - A sen ⁡ θ ≅ - A   θ

Então:

- A θ = I θ ¨

θ ¨ + A I θ = 0

E o termo que multiplica θ é o quadrado da frequência angular do oscilador, então:

ω 2 = A I

Essa frequência pode ser reescrita em função do período:

2 π τ = A I

τ = 2 π I A

Como essa constante A será a mesma ( m g ) nos caso dos dois eixos, a razão que estamos procurando é a seguinte:

R = τ B B τ A A = I B B I A A

Passo 2

Então agora vamos calcular os momentos de inércia em relação a cada um dos eixos. Em ambos os casos vamos usar o teorema dos eixos paralelos:

I X X = I c m X + m d 2

Onde d (nos dois casos) é a distância entre o centro de massa e o ponto O , que é comum aos eixos:

d = r

Mas o momento de inércia I c m X em relação a um eixo que cruza o centro de massa é diferente para cada caso, e pode ser consultado em uma tabela:

I c m A = 1 2 m r 2

I c m , B = m r 2

Então:

I A A = 1 2 m r 2 + m r 2 = 3 2 m r 2

I B B = m r 2 + m r 2 = 2 m r 2

Ou seja:

R = I B B I A A = 2 m r 2 3 2 m r 2

R = 2 3

Resposta

A razão entre os períodos é R = 2 / 3 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

13.17P Suponha que o oscilador descrito em Problema 13.16 seja submetido a uma força oscilatória descrita por F = 0,020 N . cos ⁡ 100,10s -1 . t . A) Calcule a amplitude x m das oscilações, em regime
13.22P O conjunto de amortecedores do carro descrito no Problema 13.21 tem uma constante de amortecimento b = 2,0 × 10 4Ns/m , conforme definição expressa pela Equação 13.59. Suponha que a força verti
13.23P Mostre que para ω = ω 0 + γ 2 , dado que γ ≪ ω 0 , P ω = F 0 2 4 b Sugestão: faça as aproximações ω 0 2 - ω 2 = ω 0 + ω ω 0 - ω = - 2 ω 0 γ 2 = - γ ω 0 = - γ ω
13.20E Mostre por substituição direta, que se as Equações 13.75 forem satisfeitas, x = a x 1 + b x 2 satisfará a Equação 13.76.
Um balde de massa igual a 2,00 kg, contendo 10,0 kg de água, está pendurado em uma mola vertical ideal de constante de força igual a 450 N/m e oscilando para cima e para baixo com uma amplitude igual