Enunciado

Um anel é formado girando-se a área 360º em torno do eixo x – x . Determine sua área de superfície.

Passo 1

Fala aí, galerinha do Responde aí. Tudo bem? Bora pra mais uma questão de Estática.

Neste problema, temos que determinar a superfície do objeto. Para isso, vamos utilizar o teorema de Pappus Guldin, ele é dado por:

V = θ r ¯ A

Onde θ é o ângulo de rotação que gera o corpo, neste caso, o meio-feio. Já A é área da região que vai gerar o sólido e r ¯ a distância do centroide da figura até o eixo de rotação.

Sabemos que a região é formada por um trapézio, e ele pode ser dividido em dois triângulos retângulos e um retângulo, como mostra a figura.

Com isso, vamos determinar a hipotenusa dos triângulos que compõem a região. Para isso, vamos utilizar o teorema de Pitágoras, temos:

h 2 = 80 2 + 30 2 h = 85,44   m m

Então, temos que calcular a área de cada triângulo:

A 1 = 30 ∙ 80 2 = 1200   m m 2

E para a área do retângulo, temos:

A 2 = 50 ∙ 80 = 4000   m m 2

Então, a coordenada y do centroide para cada figura vai ser:

y 1 = 100 + 80 3 = 126,7   m m y 2 = 100 + 80 2 = 140   m m y 3 = 100 + 80 3 = 126,7   m m

Passo 2

Então, podemos dizer que essas posições correspondem ao braços de alavanca para o teorema de Pappus para cada figura. Assim, para esta região vamos ter a seguinte fórmula:

V = θ r ¯ A V = 2 π 2 1200 126,7 + 4000 1 4 0 V = 5 . 429 . 174 , 76   m m 3

É isso, galera, Bora resolver mais questões pra ficar craque.

Resposta

V = 5 . 429 . 174 , 76   m m 3

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