Um anel pesado de momento de inércia de massa 1,0   k g / m 2 está ligado à extremidade de um eixo oco de duas camadas de 2 m de comprimento (Figura 2.82). Se as duas camadas do eixo forem feitas de aço e bronze, determine o período natural de vibração torcional do anel pesado.

Passo 1

Vamos calcular o momento polar de inércia do eixo I e i x o para a seção transversal do aço:

I a ç o = π 32 d e x t 4 - d i n t 4

Substituindo os valores, temos que:

I a ç o = π 32 0,05 4 - 0,04 4

I a ç o = 36,226 ⋅ 10 - 8   m 4

Vamos fazer o mesmo procedimento para calcular o momento de inércia do latão:

I l a t = π 32 0,04 4 - 0,03 4

I l a t = 17,1806 ⋅ 10 - 8   m 4

Passo 2

A rigidez torcional da parte de aço é dada por:

k a ç o = G a ç o I a ç o l

Substituindo os valores, temos que:

k a ç o = 80 ⋅ 10 9 36,226 ⋅ 10 - 8 2

k a ç o = 14490,4   N ⋅ m / r a d

Para o latão, temos que:

k l a t = 40 ⋅ 10 9 17,1806 ⋅ 10 - 8 2

k l a t = 3436,12   N ⋅ m / r a d

A rigidez equivalente do sistema será:

k e q = k a ç o + k l a t

k e q = 17926,76   N ⋅ m / r a d

Passo 3

Sabendo que a frequência natural de vibração do sistema pode ser dada por:

ω n = k e q J O

Temos que:

ω n = 17926,76 1

ω n = 133,8908   r a d / s

O período de tempo natural de vibração de torção do anel é dado por:

τ = 2 π ω n

Substituindo os valores, temos que:

τ = 2 π 133,8908

τ = 0,04693   s

Resposta

ω n = 133,8908   r a d / s

τ = 0,04693   s

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