Enunciado

O anel semicircular de massa m e raio r está soldado no eixo vertical, que permite que o anel gire no plano horizontal em torno do eixo O - O . Se um torque M é aplicado ao anel por meio de seu eixo, determine a expressão para a aceleração angular resultante α do anel e para a força F que atua no plano horizontal sobre o anel em O quando o anel inicia o movimento a partir do repouso.

Passo 1

O momento de inércia de um anel completo de massa M em relação a um eixo como o O - O da figura é:

I = 2 M r 2

Quando tomamos um anel semicircular, a forma da expressão para o momento de inércia não muda, apenas trocamos o valor da massa, que passa a ser m = M / 2 . Então

I 0 = 2 m r 2

E então a expressão para a aceleração angular quando um torque M é aplicado no eixo pode ser escrita com a seguinte fórmula:

M = I 0 α

α = M 2 m r 2

Passo 2

Agora que sabemos a aceleração angular, podemos calcular a aceleração do centro de massa do anel:

a t = r 0 α

Onde r 0 é a distância entre o centro de massa e o eixo O - O . Então, pela segunda lei de Newton:

∑ F t = m a t

E a única força agindo na direção tangencial é justamente a força F   que atua sobre o anel, fazendo-o girar:

F = m r 0 α

F = m r 0 M 2 m r 2 = M r 0 2 r 2  

Passo 3

Falta encontrar uma expressão para r 0 :

E a distância r - entre o centro de massa do anel semicircular e o centro do círculo pode ser consultada em uma tabela:

r - = 2 r π

r 0 = r - 2 + r 2

r 0 = 4 r 2 π 2 + r 2 = r 1 + 4 π 2

E então:

F = M 2 r   r 1 + 4 π 2

F = M r 1 4 + 1 π 2 = 0,593 M r

Resposta

A aceleração angular é α = M / 2 m r 2 , e a força é F = 0,593   M / r .

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