Enunciado

O disco B possui uma massa de 22   k g e um raio de giração centroidal de 200   m m . A unidade de potência C é composta por um motor M e um disco em A , que é acionado a uma velocidade angular constante de 1600   r p m . Os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre os dois discos são μ s = 0,80 e μ k = 0,60 , respectivamente. O disco B está inicialmente parado quando o contato com o disco A é estabelecido pela aplicação da força constante P = 14   N . Determine a aceleração angular α de B e o tempo t necessário para B atingir sua velocidade de regime permanente.

Passo 1

Vamos começar olhando para o carrinho de baixo (a unidade de potência C ), e aplicando a segunda lei de Newton na direção horizontal:

∑ F x = 0

Além da força P que o empurra para a direita, temos a força N do contato entre os discos e a força de atrito também nesse contato:

∑ F y = P - N cos ⁡ 30 ° + F a t sen ⁡ 30 ° = 0

P - N cos ⁡ 30 ° + 0,60 N sen ⁡ 30 ° = 0

N = P cos ⁡ 30 ° - 0,60 sen ⁡ 30 °

N = 14 cos ⁡ 30 ° - 0,60 sen ⁡ 30 ° = 24,7   N

Passo 2

E a força que gera momento sobre o disco B é a força de atrito:

F a t = μ k N

Que age a uma distância r B = 0,250   m do centro do disco, então o momento é:

∑ M 0 = F a t r B = I 0 α

μ k N r B = m B k 0 2 α

Onde k o = 0,200   m é o raio de giração do disco B :

α = μ k N r B m B k 0 2

α = 0,6 24,7 ( 0,250 ) 22 0,200 2 = 4,21   r a d / s 2

Passo 3

Agora queremos saber quanto tempo a roda B leva para atingir sua velocidade de regime permanente.

Nós já sabemos que a aceleração transmitida é de 4,21   r a d / s 2 , então só precisamos saber qual é a velocidade de regime permanente para calcular o tempo necessário.

Já que as rodas estão em contato, as suas velocidades sempre obedecem à seguinte relação:

r A ω A = r B ω B

ω B = r A ω A r B = 0,200 0,250   1600 2 π 60

Onde convertemos a velocidade angular dada em rotações por minuto para radianos por segundo:

ω B = 134,0   r a d / s

E o tempo necessário para acelerar a roda até essa velocidade, partindo do repouso, pode ser calculado com a seguinte equação:

ω B = α t

t = 134,0 4,21 = 31,8   s

Resposta

A aceleração angular é α = 4,21   r a d / s 2 , e o tempo necessário é 31,8   s .

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