Enunciado

Ao apertar um parafuso cujo centro está no ponto O, a pessoa exerce uma força de 40   l b na alavanca da catraca com a mão direita. Além disso, com a mão esquerda, ele exerce uma força de 20   l b , conforme mostrado, para prender o soquete na cabeça do parafuso. Determine o sistema de força-binário equivalente em O. Em seguida, encontre o ponto no plano x - y através do qual passa a linha de ação da força resultante da chave inglesa.

Passo 1

Fala galera! Tudo certo? Vamos dividir a resolução em algumas etapas, beleza? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede duas coisas:

i) Determinar um sistema força-binário equivalente ao sistema de forças original no ponto O;

ii) Determinar as coordenadas x e y do ponto através do qual a linha de ação da resultante R → intercepta o plano x - y .

O enunciado nos pede para substituir o sistema original por um sistema força-binário equivalente no ponto O. Vale lembrar que essa substituição não pode alterar o movimento original do corpo, então os efeitos do nosso novo sistema de força-binário deve ser igual ao efeito do sistema original composto pelas forças.

O primeiro passo é determinar a resultante  R → . Pra isso, basta somar vetorialmente as forças atuantes no sistema original composto pelas duas forças. Sim! Simples assim

R → = 0 i ^ + - 20 j ^ + - 40 k ^

R → = - 20 j ^ - 40 k ^   l b

Passo 2

Show, feito isso, vamos calcular o momento  M O → em torno de O. Ele é dado pela soma do produto vetorial dos vetores distância de cada uma das forças em relação ao ponto O, pelo valor de cada força. Como a linha de ação da força de 20   l b passa pelo ponto O, ela não produz momento neste ponto. Temos então:

M O → = ∑ r → × F →

M O → = - 8 i ^ + 1,4 j ^ × - 40 k ^   l b ∙ i n

M O → = - 56 i ^ - 320 j ^   l b ∙ i n

Passo 3

Beleza! Agora só precisamos determinar as coordenadas x e y da interseção de R → com o plano x - y . Note que podemos expressar R → como:

Onde o ângulo θ é dado por:

tan ⁡ θ = - 40 - 20

θ = 63,43 °

E a resultante:

R → = R ( - cos ⁡ θ j ^ - sen ⁡ θ k ^ )

R → = 44,7 ( - cos ⁡ ( 63,43 ° ) j ^ - sen ⁡ ( 63,43 ° ) k ^ )

R → = 44,7 ( - 0,447 j ^ - 0,894 k ^ )

O que implica que o momento pode ser expresso como:

M → = M ( - 0,447 j ^ - 0,894 k ^ )

Para encontrar o ponto de interseção no plano x - y podemos usar que:

M O → = r → × R → + M →

M O → = x i ^ + y j ^ × - 20 j ^ - 40 k ^ + M ( - 0,447 j ^ - 0,894 k ^ )  

M O → = - 20 x k ^ + 40 x j ^ - 40 y i ^ - 0,447 M j ^ - 0,894 M k ^

Separando as variáveis nas direções i ^ , j ^ e k :

- 56 = - 40 y                                                 ( 1 ) - 320 = 40 x - 0,447 M         ( 2 ) 0 = - 20 x - 0,894 M                   ( 3 )

Da equação (1) temos que:

y = - 56 - 40

y = 1,4   i n

Isolando x na equação (3):

x = - 0,894 M 20 = - 0,0447 M         ( 4 )

Substituindo essa expressão de x em (2):

- 320 = 40 ( - 0,0447 M ) - 0,447 M

- 320 = - 2,235 M

M = - 320 - 2,235 = 143,18         ( 5 )

Finalmente, substituindo (5) em (4):

x = - 0,0447 * 143,18

x = - 6,4   i n

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

R → = - 20 j ^ - 40 k ^   l b

M O → = - 56 i ^ - 320 j ^   l b ∙ i n

x = - 6,4   i n

y = 1,4   i n

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