Enunciado

Os apoios A e B da coluna biarticulada mostrada estão fixos a uma distância L, um do outro. Sabendo-se que em uma temperatura T0 a força na coluna é zero, e que a flambagem ocorre quando a temperatura é T1=T0+ ∆ T , pede se para expressar ∆ T   em termos de b, L e do coeficiente de expansão térmica α .

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Passo 1

Faala aí, sei que a primeira coisa que qualquer um pensa ao ver temperatura misturado com flambagem é : O que diabos está acontecendo aqui? Como relacionar a variação de temperatura com o resto da geometria? Bom fica tranquilo que a gente vai analisar tudo juntos.

A coluna inicialmente não tinha nenhuma força aplicada mas ao receber um incremento de temperatura sofre flambagem. O que rolou aqui foi o seguinte, a coluna foi aquecida e se dilatou, lembra lá da física? Essa dilatação térmica gerou um deslocamento axial δ .

Porém os apoios não permitem que isso aconteça e reagiram ao deslocamento com um esforço axial para deslocar o mesmo no sentido oposto, o que provocou a flambagem.

Se esse peso indicado na figura é o que causa a flambagem podemos dizer que:

P = P C R

Com isso podemos usar a fórmula da dilatação linear e relacionar a variação de temperatura com o peso crítico e outras dimensões que queremos.

Passo 2

Vamos a fórmula da dilatação linear, temos que:

δ = L 0 α ∆ T

Onde L 0 é o comprimento inicial da coluna, α é o coeficiente de dilatação térmica e ∆ T é a variação de temperatura.

A gente tem também do deslocamento axial que:

δ = P L E A

E como foi falado os apoios não permitem deslocamento sendo assim, os dois deslocamentos são idênticos um tenta expandir e o outro comprime e assim:

L 0 α ∆ T = P L E A

Rearrumando:

∆ T = P L E A L 0 α

Onde:

P = P C R

L 0 = L

E

A = d 2

Substituindo:

∆ T = P C R L E d 2 L α = P C R E d 2 α

Ainda não terminado precisamos abrir a fórmula do peso crítico para cumprir o que o enunciado pede que é em relação a L , d e α . (Detalhe que o enunciado chama a aresta de b e na figura está cotada como d, aqui usaremos d.)

Passo 3

A fórmula do peso crítico é dada por:

P C R = π 2 E I L 2

Nesse caso de seção quadrada temos:

I = d 4 12

Daí fica:

P C R = ( π 2 E d 4 ) 12 L 2    

Voltando a nossa equação:

∆ T = P C R E d 2 α

Substituímos o peso crítico e enfim encontramos a relação:

∆ T = π 2 E d 4 12 L 2 × E d 2 α = π 2 d 2 12 L 2 α

Resposta

∆ T = π 2 d 2 12 L 2 α

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