Enunciado

O aro da roda de 50   k g tem um raio médio de 450   m m . Os três raios estão espaçados de 90 ° um do outro, e cada raio é uma haste uniforme de 8   k g cujo comprimeno pode ser considerado como sendo de 450   m m . Se um torque M de 40   N ∙ m é aplicado à roda por meio de seu eixo vertical em O , calcule a componente horizontal da reação no mancal em O quando a roda inicia o movimento a partir do repouso. Despreze a massa do cubo.

Passo 1

Vamos começar calculando o momento de inércia do conjunto aro-hastes em relação a um eixo que passa pelo ponto O :

I O = I a r o + 3 I h a s t e s

E podemos consultar as fórmulas para os momentos de inércia do lado direito em uma tabela:

I O = m r 2 + 3 1 3 m l 2

I 0 = 50 0,450 2 + 3 1 3 8 0,450 2

I O = 11,745   k g   m 2

Passo 2

Agora podemos calcular a aceleração angular gerada por um momento de 40   N ∙ m :

M O = I O α

α = M O I O = 40 11,745 = 3,40   r a d / s 2

Passo 3

E como calcular a componente horizontal da força no mancal em O ? Essa componente horizontal é a única força agindo na direçao tangencial do movimento, então pela segunda lei de Newton:

∑ F t = O x = m a t

Para encontrar a reação horizontal total no mancal, podemos sem aplicar essa equação a apenas uma das hastes, de forma que a aceleração do centro de massa será:

a t = α r c m = α l 2

a t = 3,40 0,450 2 = 0,765

Então:

O x = m a t = 8 0,765 = 6,12   N

Resposta

A força de reação no mancal é O x = 6,12   N .

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