Enunciado

Em uma atração acrobática, um homem de massa m A pula de uma plataforma elevada sobre a extremidade da viga leve, porem resistente, com uma velocidade v 0 . O menino de massa m B é lançado para cima com uma velocidade v B . Para uma determinada razão n = m B / m A , determine b em termos de L para maximizar a velocidade do menino para cima. Assuma que tanto o homem quanto o menino se comportam como corpos rígidos.

Passo 1

Bom, vamos considerar dois casos separados, o primeiro é quando o homem salta da plataforma elevada, e está prestes a cair na viga leve, e o segundo, é o momento em q a viga rotaciona e o menino é lançado. Para o primeiro caso, a quantidade de movimento do sistema em relação ao ponto O será:

H O i = m A v 0 ( L - b )

E para o segundo caso:

H O f = m A v A L - b + m B v B b

Como a variação da quantidade de movimento é zero, podemos fazer:

m A v A L - b + m B v B b = m A v 0 ( L - b )

Passo 2

E como velocidade angular é a mesma para o homem e para o menino no segundo caso:

ω = v B b = v A L - b

Podemos então escrever tudo em termos de v B : v A = v B L - b b

Ficando com:

m A v B L - b b L - b + m B v B b = m A v 0 ( L - b )

Isolando v B :

v B = v 0 1 L - b b + m B m A b L - b  

Como n = m B m A dado no enunciado:

v B = v 0 1 L - b b + n b L - b  

Passo 3

E para encontrarmos a velocidade máxima do menino, precisaremos derivar a velocidade dele em relação ao comprimento b:

d v B d b = v 0 - L b 2 + n L - b - b ( - 1 ) L - b 2 L - b b + n b L - b   2 = 0

v 0 L 1 b 2 - n L - b 2 L - b b + n b L - b   2 = 0

Para que o numerador seja zero:

1 b 2 = n L - b 2

E b será; b = L 1 + n

O valor negativo foi descartado, pois precisamos de uma velocidade positiva de v B .

Resolvendo a equação de v B para esse valor de b nos dá:

v B = v 0 2 n

Resposta

v B = v 0 2 n

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