Enunciado

O disco semicircular de massa m = 2   k g está montado no aro leve de raio r = 150   m m e é liberado a partir do repouso na posição (a). Determine a velocidade angular ω do aro e a força normal N sob o aro quando passa na posição (b) após girar por 180 ° . O aro rola sem deslizar.

Passo 1

Vamos começar pensando em como a energia se comporta nesse movimento. Para isso vamos dar uma olhada em como a posição do centro de massa muda após um giro de 180 ° :

Onde r - foi consultado em uma tabela:

r - = 4 r 3 π

Entre esses dois instantes, o centro de masssa terá se deslocado pela seguinte altura:

Δ h = - 2 r - = - 8 r 3 π

E com isso podemos calcular a variação da energia potencial gravitacional:

Δ V g = m g Δ h = - 2 9,81 8 0,150 3 π = - 2,50   J

E pela lei de conservação de energia:

Δ V g + Δ T = 0

Passo 2

Então agora precisamos encontrar uma expressão para a variação de energia cinética. Inicialmente, poderíamos pensar em usar essa fórmula:

Δ T = 1 2 m v 2 + 1 2 I - ω 2

Onde v é a velocidade do centro de massa e I é o momento de inércia do corpo em relação a um eixo que passa pelo centro de massa.

Mas se tomarmos o momento de inércia em relação ao ponto P onde a roda faz contato com o chão, a expressão fica bem mais simples:

Δ T = 1 2 I P ω 2

Já que v P = 0 em qualquer instante, uma vez que estamos rolando sem deslizar.

Passo 3

Vamos usar o teorema dos eixos paralelos para calcular I P (no instante mostrado no nosso segundo desenho):

I P = I c m + m r - r - 2

E usar o mesmo teorema outra vez para calcular I c m , já que o centro de massa não está no centro O da roda:

I O = I c m + m r - 2

Então:

I P = I O - m r - 2 + m r - r - 2

Já que o aro tem massa desprezível, o momento de inércia I O incluirá apenas o disco semicircular, e esse valor pode ser consultado em uma tabela:

I P = 1 2 m r 2 - m r - 2 + m r - r - 2

I P = 1 2 m r 2 - m r - 2 + m r 2 - 2 m r r - + m r - 2

I P = m 3 2 r 2 - 2 r r -

Agora vamos simplificar essa expressão:

I P = m 3 2 r 2 - 8 r 2 3 π = m r 2 3 2 - 8 3 π = 0,6512   m r 2

Passo 4

Finalmente, vamos voltar à lei de conservação de energia:

Δ V g + Δ T = 0

- 2,50 + 1 2 I P ω 2 = 0

- 2,50 + 1 2 0,6512   m r 2 ω = 0

ω = ( 2 ) ( 2,50 ) 0,6512 ( 2 ) 0,150 2 = 13,06   r a d / s

Passo 5

Para calcular a força normal, vamos aplicar a segunda lei de Newton sobre o centro de massa do sistema na direção centrípeta:

∑ F n = m r - ω 2

Onde r - é a distância do centro de massa até o ponto O em torno do qual ele gira:

∑ F n = N - P = m r - ω 2

N = m r - ω 2 + m g

N = m 4 r 3 π ω 2 + g

Então:

N = 2 4 0,150 3 π 13,06 2 + 9,81 = 41,34   N

Resposta

A aceleração angular é ω = 13,06   r a d / s e a força normal é N = 41,34   N .

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