Enunciado

Se a placa quadrada do Prob. 8/80 é levada a oscilar em torno do eixo B - B , determine o período para pequenas oscilações.

Imagem do Prob. 8/80:

Passo 1

A única mudança em relação ao que nós fizemos no Prob. 8/80 será o momento de inércia:

I A A ≠ I B B

Começamos montando uma equação de momentos em relação ao eixo B - B :

∑ M B B = I B B θ ¨

A única força que gera momento em relação a esse eixo é o peso, que age no centro de massa da placa, a uma distância b / 2 do eixo.

∑ M B B = - m g sen ⁡ θ b 2

E o sinal negativo aparece porque o momento favorece o retorno ao ponto de equilíbrio, onde θ = 0 ° .

Passo 2

Agora vamos olhar para o outro lado da equação, o momento de inércia I B B pode ser calculado com o teorema dos eixos paralelos:

I B B = I c m + m d 2

Mas dessa vez, I c m é um eixo paralelo ao eixo B - B , que também pode ser consultado em uma tabela:

I B B = 1 6 m b 2 + m b 2 2

I B B = 1 6 + 1 4 m b 2 = 5 12 m b 2

Agora vamos substituir tudo na equação principal:

∑ M B B = I B B θ ¨

- m g sen ⁡ θ b 2 = 5 12 m b 2 θ ¨

Para pequenas oscilações podemos aproximar sen ⁡ θ ≅ θ :

- m g b 2 θ = 5 m b 2 12 θ ¨

θ ¨ + 6 g 5 b θ = 0

E o termo que multiplica θ é o quadrado da frequência natural de oscilação, então:

ω n = 6 g 5 b

Então o período é:

τ = 2 π ω n = 2 π 5 b 6 g  

Resposta

O período de pequenas oscilações é 2 π 5 b 6 g .

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