Enunciado

Um avião voa ao longo da trajetória circular horizontal AB em 60   s . Se a sua velocidade escalar no ponto A é 120   m / s , que diminui a uma razão de a t = - 0,03 t   m / s 2 , determine a intensidade da aceleração do avião quando ele chegar ao ponto B.

Passo 1

Para podermos determinar a intensidade da aceleração, precisamos calcular as componentes tangencial e a componente normal da aceleração. E para calcularmos a componente normal, precisamos determinar o raio de curvatura. Este resultado será obtido a partir da geometria do problema, pois o comprimento do arco de uma circunferência é:

s A B = ρ ⋅ θ A B

Portanto, para calcularmos ρ , precisamos obter antes s A B e θ A B . Para calcularmos o primeiro, vamos utilizar as equações da cinética. Já para obter o ângulo, vamos utilizar relações geométricas!

Passo 2

Começaremos determinando as equações que governam a velocidade a posição do avião. Sendo assim, temos:

∫ v 0 v d v = ∫ 0 t a t   d t

v - v 0 = ∫ 0 t - 0,03 t   d t

v = - 0,015   t 2 + 120

Já para a posição, temos:

∫ 0 s d s = ∫ 0 t v   d t

s = ∫ 0 t - 0,015   t 2 + 120   d t

s = - 0,005   t 3 + 120 t

Passo 3

O avião percorre o comprimento s A B em 60   s . Sendo assim,

s A B = - 0,005 ⋅ 60 3 + 120 ⋅ 60

s A B = 6120   m

Para calcularmos o raio de curvatura, vamos observar a geometria do problema abaixo.

Pela figura sabemos que:

2 ϕ + 60 ° = 180 °

ϕ = 60 °

E, no triângulo retângulo,

θ + ϕ + 90 ° = 180 °

θ = 30 °

Como θ A B = 2 ⋅ θ , temos θ A B = 60 ° = π 3 . Portanto, o raio de curvatura ρ é:

ρ = s A B θ A B = 6120 π 3 = 5844,2   m

Passo 4

Antes de calcularmos a aceleração, precisamos determinar a velocidade do avião após os 60   s . Para isto, vamos substituir este valor na equação obtida no Passo 2! Portanto,

v = - 0,015   t 2 + 120

v = - 0,015 ⋅ 60 2 + 120

v = 66   m / s

Passo 5

Agora podemos calcular a aceleração. Começando pela componente normal, temos:

a n = v 2 ρ = 66 2 5844,2 = 0,75   m / s 2

Já a componente tangencial é dada por:

a t = - 0,03 t = - 0,03 ⋅ 60 = - 1,8 m s 2

Por fim, a intensidade da aceleração do avião é:

a = a n 2 + a t 2

a = 0,75 2 + ( - 1,8 ) 2

a = 1,95   m / s 2

Resposta

a = 1,95   m / s 2

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